1○. Пусть F = < F; +, ; 0, 1> – некоторое поле с аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Элементы поля F: a, b, …Î F называются скалярами.
Пусть V = < V, , > – некоторая коммутативная группа с операцией . Элементы называются векторами.
Если существует операция ×: FV#V, т.е. функция от двух разносортных переменных с векторными значениями, , удовлетворяющая следующим условиям:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ,
то V называется векторным пространством над полем F, а операция × называется умножением на скаляр.
Для векторного пространства справедливы известные теоремы из линейной алгебры.
2○. Нуль-вектор – единица группы V.
Теорема:
3○. Линейной комбинацией множества S векторов линейного пространства называется сумма .
Если из условия следует а 1 = а 2 = … = a n =0, то множество называется линейно-независимым. В противном случае, т.е. если существует ненулевой набор a i, зануляющих линейную комбинацию, множество векторов называется линейно-зависимым.
Теорема. Линейно-независимое множество не содержит нуль-вектора.
4○. Базис и размерность.
Линейно-независимое множество векторов , такое, что любой элемент V может быть представлен в виде линейной комбинации элементов S, называется базисом пространства V.
Теорема. Каждый элемент векторного пространства имеет единственное представление в данном базисе.
Теорема. Пусть – базис, а – любое линейно-независимое множество. Тогда n ≥ m.
ã Предположим, что m>n. Из того, что В – базис, следует, что любой вектор из Х разлагается по нему, а из того, что F – поле следует, что и базисные векторы разлагаются по n векторам Х. Тогда (n +1)-й вектор Х разлагается по первым n векторам Х, т.е. множество Х – линейно-зависимое. â
Теорема. Пусть В1 и В2 – базисы векторного пространства V. Тогда | В1 | = | В2 |.
Мощность базиса векторного пространства V называется размерностью и обозначается dim(V).