double arrow

Векторные пространства

1. Пусть F = < F; +, ‰; 0, 1> – некоторое поле с аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Элементы поля F: a, b, …Î F называются скалярами.

Пусть V = < V, , > – некоторая коммутативная группа с операцией . Элементы называются векторами.

Если существует операция ×: F‰V#V, т.е. функция от двух разносортных переменных с векторными значениями, , удовлетворяющая следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ,

то V называется векторным пространством над полем F, а операция × называется умножением на скаляр.

Для векторного пространства справедливы известные теоремы из линейной алгебры.

2. Нуль-вектор – единица группы V.

Теорема:

3. Линейной комбинацией множества S векторов линейного пространства называется сумма .

Если из условия следует а 1 = а 2 = … = a n =0, то множество называется линейно-независимым. В противном случае, т.е. если существует ненулевой набор a i, зануляющих линейную комбинацию, множество векторов называется линейно-зависимым.

Теорема. Линейно-независимое множество не содержит нуль-вектора.

4. Базис и размерность.

Линейно-независимое множество векторов , такое, что любой элемент V может быть представлен в виде линейной комбинации элементов S, называется базисом пространства V.

Теорема. Каждый элемент векторного пространства имеет единственное представление в данном базисе.

Теорема. Пусть – базис, а – любое линейно-независимое множество. Тогда n ≥ m.

ã Предположим, что m>n. Из того, что В – базис, следует, что любой вектор из Х разлагается по нему, а из того, что F – поле следует, что и базисные векторы разлагаются по n векторам Х. Тогда (n +1)-й вектор Х разлагается по первым n векторам Х, т.е. множество Х – линейно-зависимое. â

Теорема. Пусть В1 и В2 – базисы векторного пространства V. Тогда | В1 | = | В2 |.

Мощность базиса векторного пространства V называется размерностью и обозначается dim(V).


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: