double arrow

Примеры векторных пространств


1. Пусть F = <F; +, ‰; 0, 1> – поле. Рассмотрим множество кортежей Fn.Тогда F n= <Fn; > является абелевой (аддитивной) группой с операцией сложения

,

нулем = (0,…,0) и обратным (противоположным) элементом . Если дополнить сложение векторов операцией покомпонентного умножения в поле F:

,

то мы получим векторное пространство над F для любого конечного n. В частности, ¡n является векторным пространством для любого n.

Вопрос: чем отличается (геометрический) вектор в некотором базисе и вектор (х1,…,xn), составленный из его координат?

2. Булеан с симметрической разностью и «нулём» является аддитивной абелевой группой. Если дополнительно ввести операцию умножения на скаляр:

то булеан превратится в векторное пространство над полем ГалуаGF(2) (двоичной арифметикой Z2).

Если , то векторы этого пространства, записанные в виде формальной суммы , как подмножества могут быть выражены формулой .

Таким образом показано, что алгебру можно рассматривать как некоторое векторное поле V.

3. Обобщение предыдущего.

Пусть Fнекоторое поле,а – некоторое множество – м.б. конечным, счётным, континуальным (в этом случае индекс пробегает непрерывное множество),…




Образуем формальное выражение .

Определим операции: сложения – и умножения на скаляр – , a Î F. Получаем векторное пространство над полем F,«натянутое на множество А».

4. Групповые алгебры

В качестве множества А из примера 3 возьмём группу G = {g1, …, gn}. Образуем линейное пространство L, элементами которого являются (формальные?) суммы вида , коэффициенты х являются элементами некоторого поля F . В поле F есть операции сложения и умножения на эти элементы. Таким образом, получается линейное пространство n измерений над группой G, или «натянутое на группу G», в котором, помимо линейных операций сложения и умножения в поле, определено действие группы: G: La L по формуле (левые сдвиги). Эта формула есть определение гомоморфизма группы G в линейное пространство L. ––– Такой гомоморфизм называется представлением группы G на элементах линейного пространства L. Данная конструкция называется регулярным представлением группы.

Помимо линейных операций, на L можно определить бинарную (билинейную) операцию умножения L´LaL формулой , где справа стоит матрица из таблицы группового умножения.

Циклические и комплексные циклические числа получаются именно таким способом. К сожалению, умножение в алгебрах, построенных над циклическими группами, имеет делители нуля или сводится (изоморфизм!) к алгебре комплексных чисел.

5. Базис и размерность

· Кортежи вида (0,0,…,1,0,…0) образуют базис пространства Fn, dim Fn = n. Здесь Fn – векторное пространство над полем F .

· Базисными векторами в примере 1 являются



· Одноэлементные подмножества образуют базис булеана. Т.е. любое подмножество множества А = {а1, …,аn} может быть представлено в виде . Отсюда следует, что dim(2А) = |А|.







Сейчас читают про: