Упражнение 59

Пусть мы имеем два угла (h₁,k₁) и (h₂,k₂). Если при откладывании угла (h₁,k₁) от луча h₂ в сторону луча k₂ получается внешний луч , то при откладывании угла (h₂,k₂) от луча h₁ в сторону луча k₁ получается внутренний луч и наоборот. (use #52 and 3.4)

Def. Если в результате построения, описанного в предыдущем упражнении, луч попадает внутрь угла (h₂,k₂), то говорят, что угол (h₁,k₁) меньше угла (h₂,k₂): Ð(h₁,k₁)<Ð(h₂,k₂). Если же он оказывается внешним по отношению к углу (h₂,k₂), то говорят, что угол (h₁,k₁) больше угла (h₂,k₂): Ð(h₁,k₁)>Ð(h₂,k₂).

Предыдущее упражнение показывает, что для углов a и b имеет место одна и только одна возможность из трёх: a<b (b>a), aºb или a>b (b<a). Кроме того, сравнение углов транзитивно: из любой посылки a>b и b>g; a>b и bºg; aºb и b>g следует a>g.

Всё это вместе взятое означает, что множество углов линейно упорядочено (как целые или рациональные числа). То же самое верно и в отношении сравнения отрезков, что следует из однозначности откладывания отрезков (см. стр.10). Из только что установленной линейной упорядоченности углов вытекает следующее упражнение: