Рассмотрим уравнение: . Отсюда или . Поэтому , где С – произвольная постоянная.
– общий интеграл; – общее решение.
Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.
Пример. Уравнение . Его общее решение . Положим С =2, тогда – частное решение.
Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.
Пример. Уравнение имеет два общих решения:
1) 2)
Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.
Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .
Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.
|
|
Пример. . Общее решение .