А. Уравнение с разделенными переменными

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и – заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. или – общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию будет функция , определенная из равенства . (4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение. .

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: (5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим: . (6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именно или . (7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат , , … и т.д. Заметим, что константы служат решениями уравнения (5), т.к. и .

Общим интегралом (5) будет . (8)

Если решения получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция , определенная уравнением:

. (9)

Пример. Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на . .

Отсюда или – общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.

Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.