Восстановление оригинала по изображению

Отображение, обратное к отображению Лапласа называется отображением Меллина

,

где интегрирование ведется по любой прямой Re p = S, S > S ₀.

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее.

Первая теорема разложения. Если функция F (p) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд Лорана имеет вид

,

то оригиналом является функция

.

Вторая теорема разложения. Если F (p) имеет конечное число особых точек p ₁, p ₂,..., p_n, то

.

Во многих случаях оригинал легко восстанавливается по таблице изображений и свойствам преобразования Лапласа.

Пример 1. Найти оригинал для функции .

Преобразуем функцию, выделив в знаменателе полный квадрат.

.

По таблице найдем оригинал

.

Пример 2. Найти оригинал для функции .

1 способ. Представим дробь в виде суммы простейших дробей

.

Вычислив неопределенные коэффициенты, получим

.

Для каждой дроби можно найти оригинал по таблице:

.

2 способ. Воспользуемся второй теоремой разложения.

Функция имеет три особые точки p ₁ = 1, p ₂ = i, p ₃ = – i, являющиеся полюсами первого порядка. Найдем вычеты в этих точках для функции e^ptF (p):

Res(e^ptF (p), p ₁) = ,

Res(e^ptF (p), p ₂) = ,

Res(e^ptF (p), p ₃) = .

Оригинал является суммой вычетов:

.

Пример 3. Найти оригинал для функции .

Воспользуемся первой теоремой разложения. Запишем ряд Лорана для функции F (p) в окрестности точки по известному разложению для экспоненты:

.

Оригинал:

.