Свойства изображений и оригиналов

1. Линейность: .

2. Подобие: .

3. Смещение: .

4. Запаздывание: , >0.

5. Дифференцирование оригинала:

………………………………………………

.

6. Дифференцирование изображения:

…………………………

.

7. Интегрирование оригинала: .

8. Интегрирование изображения: .

9. Умножение изображений (теорема о свертке функций):

.

Приведем краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями.

Таблица оригиналов и изображений Таблица 2

№	Оригинал f(t)	Изображение	№	Оригинал f(t)	Изображение
	t
	(n - целое)

Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В.А. Диткин и П.И. Кузнецов).

Õ Пример. Используя таблицу изображений и свойства, найти изображения оригиналов:

1)

Найдем изображение каждого слагаемого, используя в таблице формулы 1, 4 и 15

Используя свойство линейности, получаем:

2) (формула 20).

3) (формула 5).

4)

Используем формулу . Далее, используем свойство линейности и формулу 5, получаем:

.

5) (формулы 1 и 6).

6) . Используем свойство 6 (дифференцирование изображения):

если f(t) ÷ F(p), то

Получили .

7) . Изображение гиперболического косинуса известно , применяя свойство смещения , получаем .

8) . Используем теорему об интегрировании оригинала (свойство 7):

9) (свойство 7). n

Õ Пример. Найти оригиналы по изображениям.

На практике рекомендуется поступать следующим образом:

- по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал.

- функцию представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности и таблицей найти оригинал.

1)

По таблице (формула 4) . Умножим и разделим исходное изображение на 2: . Искомый оригинал .

2)

Выделим полный квадрат в знаменателе и применим формулу 9:

.

Получили оригинал .

3)

Для нахождения оригинала используем формулу 13 и свойство линейности:

.

Искомый оригинал .

4) . Выделим в знаменателе полный квадрат и применим формулы 9 и 10, свойство линейности:

5)

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

.

Приравниваем числители дробей и находим коэффициенты А и В:

Далее используем свойство линейности и формулы 1, 2:

Искомый оригинал .n