Распределение напряжений в основании от равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площадке. Метод угловых точек

Если закон распределения давления по поверхности изотропного линейно-деформируемого полупространства изве­стен, то элементарное суммирование можно заменить интегри­рованием. При равномерно распределенном давлении после ин­тегрирования по прямоугольной площади загружения значения σ_z для точек, расположенных под центром прямоугольной пло­щади загружения (рис. 6.5,6), будут

(6.4)

Где а — коэффициент, принимаемый по табл.; р — равномерно распре­деленное давление.

При определении напряжения сгг на глубине z под центром площади загружения значение а принимают в зависимости от величин η=l/b и ξ=2z/b (где l— длинная сторона прямоугольной площади загружения; b— ее ширина).

При нахождении σ_z под угловыми точками прямоугольной площади загружения (например, под точкой С на рис. 6.4,6) значения а, как показал Д. Е. Польшин, также можно прини­мать по табл. 6.2 в зависимости от величин η=l/b и ξ. В этом случае ξ=z/b. Напряжение под угловыми точками опреде­ляют по формуле

(6.5)

Определение напряжения σ_z методом угловых точек.

Для определения вертикального напряжения σ_z в лю­бой точке полупространства можно воспользоваться выраже­нием (6,5), Действительно, если проекция рассматриваемой точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается в пределах площади загружения (рис. 6.5,а), то эту площадь можно разбить на четыре прямо­угольника (l—Meaf, ll — Mfbg, III — Mgch, IV — Mhde) так, чтобы точка М была угловой точкой каждого из них. Тогда на­пряжение σ_z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:

(6.6)

где —коэффициенты, принимаемые по табл. 6.2 в зависимости от отношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отноше­ния г (глубины расположения точки М') к ширине каждой из этих площадей.

Когда проекция точки М' на горизонтальную поверхность полупространства (точка М) располагается вне пределов пло­щади загружения (рис. 6.5,6), точку М аналогично можно пред­ставить как угловую точку фиктивных площадей загруження I, II, III, IV (Meaf, Mgbf, Mhde, Mhcg). При этом в пределах площадей II и IV фиктивная нагрузка прикладывается в об­ратном направлении. Напряжение определяется по выражению

В случае расположения точки М' так, как показано на рис. 6.5,0, ее проекцию на горизонтальную поверхность полу­пространства (точку М) можно представить как угловую точку фиктивных площадей загружения Mhae(l), Mgbe(ll), Mhdf(lll), 'Mgcf (IV). Тогда

Так, пользуясь методом угловых точек, можно найти на­пряжение σ_z любой точке полупространства, к поверхности которого приложена равномерно распределенная нагрузка в пределах прямоугольной площади.