double arrow

Доказательство. Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма S2m>0 и возрастает с возрастанием номера 2m.

С другой стороны, S2m можно переписать так:

Легко видеть, что S2m<u1. Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем . Ч.т.д.

Замечания:

1. Исследование знакочередующегося ряда вида сводится к стандартному путем умножения всех его членов на (-1);

2. Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которая допускается при замене суммы S данного ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда.

Определение. Числовой ряд содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Знакочередующийся ряд является его частным случаем.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (1). Если сходится ряд (2) составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: