Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство ,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд расходится.
Теорема. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.
Если l = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Доказательство аналогично доказательству признака Даламбера.
Пример. Определить сходимость ряда .
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда .
Применим признак к ряду без множителя 2, так как
- сходится. Тогда по свойству числовых рядов, исходный ряд тоже сходится.
Пример. Определить сходимость ряда .
- Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
, таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.