Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;¥) функции f(x) так, что u1= f(1), u2=f(2),…, un=f(n) …, то:
1) если несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится;
2) если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n.
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3],.. Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или , или
.
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем Sn-u1<A, т.е. Sn<A+u1. Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится. Ч.т.д.
|
|
Пример. Рассмотрим ряд
сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд называется общегармоническим рядом.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
ряд расходится.
Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.