Разложение функций в степенные ряды

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее.)

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Другими способами разложения функции в степенной ряд осуществляется с помощью ряда Тейлора и Маклорена.

Формула Тейлора для функции f(x), определенной в окрестности точки х₀ и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, имеет следующий вид:

(1),

где - остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде . Формулу кратко можно записать в виде , P_n – многочлен Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки х₀ и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х-х₀), называемое рядом Тейлора: (2).

Если в ряде Тейлора положить х₀=0, то получим разложение функции по степням х в так называемый ряд Маклорена: .

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е.