2015-06-26
1473
ЭВМ работают с двоичными кодами, пользователю удобнее иметь дело с десятичными или шестнадцатеричными. Поэтому возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую.
Преобразование числа Х из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием р осуществляется по правилу замещения или по правилу деления-умножения на основание системы счисления.
Правило замещения
Правило замещения реализуется на основании формулы (1.1) и предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего используется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.
Пример. 111011,011(2)= 1•24 +0•23 +1•22 +0•21 +l•20+0•2-1+l•2-2+l•2-3= 59, 375.
Правило деления-умножения
Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в исходной системе счисления с основанием q, поэтому его удобно применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные системы счисления. Правила преобразования целых чисел и правильных дробей различны. Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей — правило умножения. Для преобразования смешанных чисел используются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.
|
|
|
Правило деления используется для преобразования целого числа, записанного в q-ичной системе счисления, в р-ичную. В этом случае необходимо последовательно делить исходное q-ичное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q-ичной системе счисления. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного цифрами р-ичной системы счисления записывается код числа в повои системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.
Правило умножения используется для преобразования дробного числа, записанного в q-нчнон системе счисления, в р-ичпую. В этом случае необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q-ичной системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р-ичной системы счисления, и дают последовательность цифр в новой р-ичной системе.
Умножение необходимо производить до получения в искомом р-ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда исходной q-ичной дроби. При этом в общем случае получается код приближенно, и всегда с недостатком значения дроби. Поэтому в случае обратного преобразования (р-ичпого кода дроби в q-ичный) результат может не совпадать с исходным значением q-ичной дроби.
|
|
|
Пример. 75,35(10)=1001011,01011…(2).
Для получения частных и остатков по правилу деления для целой части числа удобно использовать формулу записи, известную под названием «деление в столбик», а для получения р-ичного кода дробной части числа по правилу умножения — форму записи, известную под названием «умножение столбиком». Применительно к рассматриваемому примеру имеем:
| 
|
Таким образом, в результате преобразования получаем 75,35(10) = 1001011,01011...(2). Как следует из примера, процесс перевода дробной части можно продолжить до бесконечности. ЭВМ оперирует числами, представленными конечными наборами цифр. Поэтому дроби округляют в соответствии с правилами преобразования и весом младшего разряда исходной дроби.
Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=23, а 16=24. Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).
При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой).
При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоичный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.
Например:
Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.
