Тема 1.
Общие теоретические основы информатики.
7. Основные системы счисления, применяемые в информатике. Двоичная система счисления. Перевод из одной системы счисления в другую. 1
Порождение целых чисел в позиционных системах счисления. 2
Системы счисления используемые в компьютерной технике. 2
Пеpевод пpавильной десятичной дpоби в любую другую позиционную систему счисления. 3
Пеpевод числа из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную.. 4
Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую.. 5
Арифметические операции в позиционных системах счисления. 6
Сложение. 6
Умножение. 8
Вычитание. 9
Деление. 10
Основные системы счисления, применяемые в информатике. Двоичная система счисления. Перевод из одной системы счисления в другую.
Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). |
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
|
|
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. |
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.Любое число можно представить как сумму степеней основания системы счисления, т.е.:
a n-1 qn-1 + an-2 qn-2+... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 +... + a-m q-m,
где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:
327 = 3*10² + 2*10¹ + 7* 10°
87,75 = 8*10¹ + 7*10 ° +7*10 ֿ ¹ +5*10 ֿ ²
При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Затем выписываем остатки в обратном порядке |
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
|
|
Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Порождение целых чисел в позиционных системах счисления
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. будем использовать термин продвижение цифры для обозначения ее замены на следующую по величине.
Например, продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета: Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел в следующих сисемах:
- в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
- в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
- в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
- в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Системы счисления используемые в компьютерной технике.
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
- двоичная (используются цифры 0, 1);
- восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
- шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:
|
|