Раздел XV: криволиненйные интегралы

15.1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги и его свойства:

Пусть непрерывна в каждой точке гладкой дуги .

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется криволинейным интегралом по длине дуги от функции по кривой , где

Т.о. .

Основные свойства:

1) ;

2) ;

3) Если в каждой точке дуги , то и ;

4) Если в каждой точке дуги , то и ;

5) ;

6) , где - длина дуги , - точка дуги.

15.2 Вычисление криволинейных интегралов по длине дуги:

· - в случае явного задания кривой интегрирования ;

· - в случае параметрического задания кривой интегрирования ;

· - в случае задания кривой интегрирования в п.с.к. .

15.3 Применения криволинейного интеграла по длине дуги:

· - длина дуги;

· - масса неоднородной дуги с плотностью ;

· ; - стат. моменты дуги относительно коорд. осей;

· ; - координаты центра масс дуги;

· - моменты инерции дуги.

15.4 Криволинейный интеграл по координатам:

- составной криволинейный интеграл.

Пусть - непрерывна в каждой точке гладкой направленной дуги .

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется криволинейным интегралом по координате от функции по кривой , где

Т.о. .

Аналогично .

Основные свойства:

1) ;

2) ;

3) Криволинейные интегралы по координатам, взятые по замкнутому контуру не зависят от выбора на контуре начальной точки, но зависят от направления обхода контура.

Если направление обхода не указано, то полагают, что контур обходится в положительном направлении (такое, при котором точки области, ограниченные контуром, остаются слева).

15.5 Вычисление криволинейных интегралов по координатам:

1. - в случае явного задания кривой интегрирования;

2. - в случае параметрического задания кривой интегрирования;

3. - формула Грина, где - область, ограниченная контуром .

4. Если , то ;

5. Если и - незамкнутая кривая , т.е. вычисление таких интегралов сводится к вычислению определенных, однако, в качестве линии интегрирования удобно брать ломаную, звенья которой параллельны осям координат.

15.6 Применения криволинейных интегралов по координатам:

1. - нахождение функции по ее полному дифференциалу, где - точка из области непрерывности ;

2. - работа силы , где , по перемещению материальной точки ;

3. - площадь плоской фигуры.

Теорема (условие независимости составного интеграла по координатам от формы кривой интегрирования):

Если функции и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой области , то для того чтобы составной интеграл по координатам не зависел от формы кривой интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных .