2015-06-26
627
16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности 
:
Пусть функция 
- непрерывна в каждой точке гладкой поверхности 
.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что 
и 
называется поверхностным интегралом по площади поверхности от функции по поверхности , где 
- диаметр частичной поверхности.
Т.о. 
, где 
- площадь частичной поверхности.
Определение:
Сторона поверхности называется положительной (отрицательной) в направлении оси 
, если нормаль, проведенная к этой стороне в произвольной точке составляет с осью острый (тупой) угол.
Аналогично, для 
.
Определение:
Выбор одной из двух сторон поверхностей (положительной или отрицательной) в направлении определенной оси называется ориентацией поверхности в направлении выбранной оси.
Основные свойства:
- Поверхностные интегралы не завися от ориентации поверхности в направлении любой оси.
-
; - Если всюду на
, то и 
; - Если всюду на
, то и 
; -
; -
, где 
- площадь , 
- из поверхности .
16.2. Вычисление поверхностных интегралов по площади поверхности:
|
|
|
- Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;
- Тогда уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.
Т.е., если такая прямая параллельна оси :
- уравнение : 
;
- проецируем на 
и 
.
3. Переходим к двойному интегралу:
.
16.3. Применения поверхностных интегралов по площади поверхности:
· 
- площадь поверхности ;
· 
- масса гладкой неоднородной поверхности с плотностью 
;
· 
; 
; 
- статические моменты относительно координатных плоскостей;
· 
; 
; 
; - координаты центра масс поверхности;
· 
- моменты инерции поверхности относительно координатных осей.
16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам 
:
Пусть имеет гладкую поверхность , соорентируем ее в направлении оси .
Положим, что в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция 
.
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции на поверхности при условии, что и называется поверхностным интегралом по координатам 
от функции по поверхности , где - диаметр частичной поверхности.
Т.о. 
, где 
- площадь проекции частичной поверхности на .
Аналогично, определяются поверхностные интегралы по координатам 
.
- составной поверхностный интеграл по координатам.
Основные свойства:
1). Каждый из поверхностных интегралов по координатам зависит от ориентации поверхности в направлении соответствующей оси, т.е.
2)Если - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси , то 
;
|
|
|
3) 
, где 
- углы, образованные вектором 
с соответствующими координатными осями.
16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:
1) Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;
2) Ориентируем поверхность в направлении этой оси;
3) Уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.
4) Переходим к двойному интегралу:
Если такая прямая параллельна оси , то уравнение : и
.
- формула Остроградского-Гаусса.
- формула Стокса.
КУРС
