Раздел XVI: поверхностные интегралы

16.1. Определение и свойства поверхностого интеграла по площади поверхности :

Пусть функция - непрерывна в каждой точке гладкой поверхности .

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется поверхностным интегралом по площади поверхности от функции по поверхности , где - диаметр частичной поверхности.

Т.о. , где - площадь частичной поверхности.

Определение:

Сторона поверхности называется положительной (отрицательной) в направлении оси , если нормаль, проведенная к этой стороне в произвольной точке составляет с осью острый (тупой) угол.

Аналогично, для .

Определение:

Выбор одной из двух сторон поверхностей (положительной или отрицательной) в направлении определенной оси называется ориентацией поверхности в направлении выбранной оси.

Основные свойства:

1. Поверхностные интегралы не завися от ориентации поверхности в направлении любой оси.
2. ;
3. Если всюду на , то и ;
4. Если всюду на , то и ;
5. ;
6. , где - площадь , - из поверхности .

16.2. Вычисление поверхностных интегралов по площади поверхности:

1. Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;
2. Тогда уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.

Т.е., если такая прямая параллельна оси :

- уравнение : ;

- проецируем на и .

3. Переходим к двойному интегралу:

.

16.3. Применения поверхностных интегралов по площади поверхности:

· - площадь поверхности ;

· - масса гладкой неоднородной поверхности с плотностью ;

· ; ; - статические моменты относительно координатных плоскостей;

· ; ; ; - координаты центра масс поверхности;

· - моменты инерции поверхности относительно координатных осей.

16.4. Определение и свойства поверхностного интеграла по координатам :

Пусть имеет гладкую поверхность , соорентируем ее в направлении оси .

Положим, что в каждой точке этой поверхности задана непрерывная функция .

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции на поверхности при условии, что и называется поверхностным интегралом по координатам от функции по поверхности , где - диаметр частичной поверхности.

Т.о. , где - площадь проекции частичной поверхности на .

Аналогично, определяются поверхностные интегралы по координатам .

- составной поверхностный интеграл по координатам.

Основные свойства:

1). Каждый из поверхностных интегралов по координатам зависит от ориентации поверхности в направлении соответствующей оси, т.е.

2)Если - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси , то ;

3) , где - углы, образованные вектором с соответствующими координатными осями.

16.5. Вычисление поверхностных интегралов по координатам:

1) Выясняем, прямая параллельная какой оси, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке;

2) Ориентируем поверхность в направлении этой оси;

3) Уравнение разрешаем относительно этой переменной, проецируем на соответствующую двумерную плоскость.

4) Переходим к двойному интегралу:

Если такая прямая параллельна оси , то уравнение : и

.

- формула Остроградского-Гаусса.

- формула Стокса.

КУРС