2015-06-26
1643
13.1. Основные понятия:
Определение:
Соответствие 
, при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величин 
и 
взятых из области их изменения отвечает одно и только одно числовое значение переменной величины 
, называют числовой функцией двух переменных.
Обозначение: 
.
Здесь 
- аргументы (независимые переменные), - зависимая переменная (функция).
- область определения, 
- область значений.
Определение:
Совокупность всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению 
, называют графиком соответствующей функции.Обычно график функции представляет собой поверхность, с которой любая прямая параллельная ось 
,пересекается не более чем в одной точке.
Способы задания: табличный, графически, аналитически.
Определение:
Число А называется пределом функции при стремлении точки 
к точке 
, если для любого 
существует 
: для всех точек 
координаты которых удовлетворяют соотношениям 
и 
справедливо неравенство 
.
Обозначение: 
или 
.
Этот предел существует тогда и только тогда, когда по каждому из направлений предел имеет одно и тоже значение.
Определение:
Функция называется непрерывной в точке 
, если:
- она определена в точке и ее окрестности;
- в точке предел функции равен значению функции в этой точке 
.
Определение:
Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
13.2. Частные производные:
Определение:
Частной производной функции по называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению аргумента 
при условии, что 
произвольным образом.
Т.о. 
. Аналогично, 
.
Чтобы найти частную производные по функции необходимо в выражении 
переменную считать постоянной и дифференцировать при этом условии по как функцию одной переменной. Аналогично, для нахождения частной производной по переменной .
Пусть функция определена и непрерывна в некоторой области 
, тогда частной производной функции по (по ) вычисленная в точке есть тангенс угла между осью 
и касательной, проведенной в соответствующей точке поверхности к линии ее пересечения плоскостью 
.
Определение:
Частной производной 
- го порядка функции называется частная производная первого порядка по одной из переменных или от частной производной 
порядка 
.
Теорема (о равенстве смешанных производных):
Если функция имеет всевозможные непрерывные частные производные до 
- го порядка включительно, то значения любой смешанной производной - порядка не зависит от того порядка, в котором для ее получения проводились последовательные дифференцирования по и по , но зависит от общего числа дифференцирований по каждому из аргументов.
- формула нахождения частного дифференциала по .
- формула нахождения частного дифференциала по .
- формула нахождения полного дифференциала.
, где 
Теорема (признак полного дифференциала):
Если функции 
, 
и их частные производные первого порядка по обоим переменным и непрерывны в некоторой области , то для того чтобы в этой области выражение 
было полным дифференциалом некоторой функции 
, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось равенство: 
.
13.3. Дифференцирование сложных функций:
1. Общий случай:
Пусть 
, тогда
и 
.
2. Полная производная:
Пусть 
, тогда
.
13.4. Дифференцирование неявных функций:
1. Неявная функция одной переменной: 
, тогда
или 
;
- Неявная функция двух переменных:
, тогда
и 
, если функция зависит от переменных , .
Имеем аналогичные формулы, если 
или 
.
13.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности:
1) Если поверхность задана явно уравнением 
, то
- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке 
- уравнение нормали к этой поверхности в точке .
2) Если поверхность задана неявно уравнением , то
- уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке .
- уравнение нормали к этой поверхности в точке .
13.6. Экстремумы функции двух переменных:
Определение:
1)Точка, в которой хотя б одна из частных производных первого порядка функции не существует или обе обращаются в нуль, называется критической точкой этой функции.
2) Точка, в которой обе частные производные первого порядка равны нулю, называется стационарной точкой.
Теорема (достаточный признак существования экстремума функции):
Если в стационарной точке функция имеет всевозможные непрерывные частные производные второго порядка и если в этой точке:
- 
, то - точка экстремума и 
;
- 
, то в точке - экстремума нет;
- 
, неопределенный случай.
; 
; 
Правило нахождения экстремума функции :
1) Определяем ;
2) Находим стационарные точки, лежащие строго внутри ;
3) Для каждой такой стационарной точки составляем выражение 
и с его помощью устанавливаем наличие в стационарной точке экстремума, а по знаку 
определяем его характер;
4) Вычисляем значение заданной функции в точке экстремума, тем самым получаем 
.
