2015-06-26
3461
12.1. Определение и свойства:
Определение:
Конечный предел интегральной суммы функции 
на 
называется определенным интегралом от этой функции на .
Т.о. 
, где 
.
Теорема (формула Ньютона-Лейбница): Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности двух значений любой первообразной подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования: 
.
Основные свойства определенного интеграла:
1) 
;
2) 
;
3) 
- свойство аддитивности
4) Если на , где 
, то и 
;
5) Интегрирование неравенств:
Если на , где 
, то и 
;
6) Об оценке определенного интеграла:
Если 
- наименьшее, 
- наибольшее значения функции 
на , то
;
7) 
;
8) Теорема о среднем: 
, где 
9) 
.
12.2. Методы вычисления определенного интеграла:
- Непосредственное интегрирование (применение формулы Ньютона-Лейбница);
- Замена переменной интегрирования: 
. Здесь не возвращаются к исходной переменной, но сразу вводят новые пределы интегрирования.
- Интегрирование по частям: если 
- непрерывно-дифференцируемы на , то 
.
Все замечания, сделанные к аналогичному методу в неопределенном интеграле остаются справедливыми.- Определенный интеграл на отрезке симметричном нулю от нечетной функции равен нулю, от четной – двум интегралам, взятым по половине исходного отрезка интегрирования:
.
12.3. Несобственные интегралы:
Первого рода:
Пусть - непрерывна на 
или на 
: 1. 
или 
,
если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.
2. 
, где 
- любая точка оси 
.
Полный интеграл 
сходится, тогда и только тогда, когда сходится каждый из составляющих его интегралов.
Второго рода:
Пусть - непрерывна в 
или 
:
1. 
или 
,
если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.
2. 
, где - внутренняя точка бесконечного разрыва.
Такой несобственные интеграл, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба составляющих его интеграла.
12.4 Применения определенного интеграла:
1. Вычисление площадей плоских фигур:
· 
- площадь криволинейной трапеции, где 
;
· 
- площадь криволинейной трапеции, где 
;
· 
- площадь фигуры, где 
, 
;
· 
-площадь фигуры, где основная кривая задана как 
,
где 
, 
- непрерывно-дифференцируемы на 
;
· 
- площадь фигуры, где основная кривая задана в п.с.к. уравнением 
, 
.
2.Вычисление длин дуг плоских кривых:
· 
- формула вычисления длины дуги, заданной явно , где - непрерывно-дифференцируема на
· 
- для дуги, заданной параметрически , где - непрерывно-дифференцируемы на .
· 
- для дуги кривой в п.с.к., где и 
- непрерывно-дифференцируема на 
.
3. Вычисление площадей поверхностей вращения:
· 
- вокруг оси 
;
· 
- вокруг оси 
;
· 
- для кривой, заданной параметрически;
· 
- для кривой в п.с.к.
4. Вычисление объемов тел вращения:
· 
- вокруг оси ;
· 
- вокруг оси .
5. Физические приложения определенного интеграла:
· 
-формула нахождения пути по скорости при прямолинейном движении;
· 
- масса неоднородного стержня длины 
с заданной линейной плотностью 
;
· 
- угол поворота за отрезок времени 
при заданной угловой скорости 
;
· 
- количество теплоты необходимое для нагревания тела от 
до 
при заданной теплоемкости 
;
· 
- количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за отрезок времени при заданной силе тока 
;
· 
- работа переменной силы при прямолинейном перемещении (физический смысл определенного интеграла);
· 
- формула вычисления давления жидкости на вертикальную пластину.
