Раздел XII: Определенный интеграл

12.1. Определение и свойства:

Определение:

Конечный предел интегральной суммы функции на называется определенным интегралом от этой функции на .

Т.о. , где .

Теорема (формула Ньютона-Лейбница): Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности двух значений любой первообразной подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования: .

Основные свойства определенного интеграла:

1) ;

2) ;

3) - свойство аддитивности

4) Если на , где , то и ;

5) Интегрирование неравенств:

Если на , где , то и ;

6) Об оценке определенного интеграла:

Если - наименьшее, - наибольшее значения функции на , то

;

7) ;

8) Теорема о среднем: , где

9) .

12.2. Методы вычисления определенного интеграла:

- Непосредственное интегрирование (применение формулы Ньютона-Лейбница);

- Замена переменной интегрирования: . Здесь не возвращаются к исходной переменной, но сразу вводят новые пределы интегрирования.

- Интегрирование по частям: если - непрерывно-дифференцируемы на , то .

Все замечания, сделанные к аналогичному методу в неопределенном интеграле остаются справедливыми.- Определенный интеграл на отрезке симметричном нулю от нечетной функции равен нулю, от четной – двум интегралам, взятым по половине исходного отрезка интегрирования:

.

12.3. Несобственные интегралы:

Первого рода:

Пусть - непрерывна на или на : 1. или ,

если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

2. , где - любая точка оси .

Полный интеграл сходится, тогда и только тогда, когда сходится каждый из составляющих его интегралов.

Второго рода:

Пусть - непрерывна в или :

1. или ,

если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

2. , где - внутренняя точка бесконечного разрыва.

Такой несобственные интеграл, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба составляющих его интеграла.

12.4 Применения определенного интеграла:

1. Вычисление площадей плоских фигур:

· - площадь криволинейной трапеции, где ;

· - площадь криволинейной трапеции, где ;

· - площадь фигуры, где , ;

· -площадь фигуры, где основная кривая задана как ,

где , - непрерывно-дифференцируемы на ;

· - площадь фигуры, где основная кривая задана в п.с.к. уравнением , .

2.Вычисление длин дуг плоских кривых:

· - формула вычисления длины дуги, заданной явно , где - непрерывно-дифференцируема на

· - для дуги, заданной параметрически , где - непрерывно-дифференцируемы на .

· - для дуги кривой в п.с.к., где и - непрерывно-дифференцируема на .

3. Вычисление площадей поверхностей вращения:

· - вокруг оси ;

· - вокруг оси ;

· - для кривой, заданной параметрически;

· - для кривой в п.с.к.

4. Вычисление объемов тел вращения:

· - вокруг оси ;

· - вокруг оси .

5. Физические приложения определенного интеграла:

· -формула нахождения пути по скорости при прямолинейном движении;

· - масса неоднородного стержня длины с заданной линейной плотностью ;

· - угол поворота за отрезок времени при заданной угловой скорости ;

· - количество теплоты необходимое для нагревания тела от до при заданной теплоемкости ;

· - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за отрезок времени при заданной силе тока ;

· - работа переменной силы при прямолинейном перемещении (физический смысл определенного интеграла);

· - формула вычисления давления жидкости на вертикальную пластину.