2015-06-26
2457
14.1. Определение и свойства двойного интеграла:
Пусть 
непрерывна в замкнутой области 
.
Определение: Конечный предел интегральной суммы функции 
в области при условии, что 
и 
называется двойным интегралом от этой функции по области , где 
- диаметр частичной области.
Т.о. 
.
Основные свойства двойного интеграла:
1) 
, где 
- 
;
2) 
;
3) 
;
4) Если всюду в области 
, то 
;
5) Если всюду в области 
, то 
;
6) Если 
- наименьшее, 
- наибольшее значения функции и области , то 
, где 
- площадь области ;
7) 
;
8) Теорема о среднем:
Если функция - непрерывна в замкнутой области , то 
, где - площадь области и 
- некоторая внутренняя точка области .
Двойной интеграл от неотрицательной функции определяет объем соответствующего цилиндрического тела.
14.2. Вычисление двойного интеграла:
1. 
Правило вычисления двойного интеграла по :
- строим область интегрирования и проверяем, является ли она правильной и стандартной по 
;
- разрешаем уравнение границ области относительно ;
- переходим от двойного интеграла к повторному;
|
|
|
- берем внутренний интеграл по 
при произвольном постоянном 
;
- вычисляем внешний интеграл.
2. 
.
14.3. Применения двойного интеграла:
· 
или 
- вычисление площади фигур;
· 
- вычисление объема;
· 
- масса плоской неоднородной пластины плотности 
(механический смысл двойного интеграла);
· 4) 
; 
- статические моменты относительно осей
· 
; 
- координаты центра масс пластины;
· 
- моменты инерции пластины.
14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:
Пусть функция 
непрерывна в замкнутой облости 
.
Определение: Конечный предел интегральной суммы функции 
в области при условии, что и называется тройным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.
Т.о. 
.
Вычисление тройных интегралов:
1.В декартовой системе координат:
2. В цилиндрической системе координат (ц.с.к.):
В ц.с.к.
,
.
;
Полезно использовать, что 
.
Тройной интеграл целесообразно вычислять в ц.с.к., если:
- область интегрирования ограничена хотя бы одной из поверхностей 
(прямой круговой цилиндр), 
(параболоид вращения), 
(прямой круговой конус) с 
;
- область проецируется на плоскость 
в круг или любую его часть.
3. В сферической системе координат (с.с.к.):
;
;
.
Тройной целесообразно вычислять в с.с.к., если - шар или его часть.
Полезно использовать, что 
.
14.5. Применения тройного интеграла:
· 
- в декартовой системе координат;
· 
- в цилиндрической системе координат;
· 
- в сферической системе координат;
· 
- масса неоднородного тела с плотностью 
;
· 
;
;
- статические моменты относительно координатных плоскостей.
· 
; 
; 
- координаты центра масс;
|
|
|
· 
;
; - моменты инерции тела относительно коорд. осей
;
· 
;
; - моменты инерции тела относительно коорд. плоскостей
- момент инерции относительно 
.
