Раздел XIV: кратные интегралы

14.1. Определение и свойства двойного интеграла:

Пусть непрерывна в замкнутой области .

Определение: Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется двойным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.

Т.о. .

Основные свойства двойного интеграла:

1) , где - ;

2) ;

3) ;

4) Если всюду в области , то ;

5) Если всюду в области , то ;

6) Если - наименьшее, - наибольшее значения функции и области , то , где - площадь области ;

7) ;

8) Теорема о среднем:

Если функция - непрерывна в замкнутой области , то , где - площадь области и - некоторая внутренняя точка области .

Двойной интеграл от неотрицательной функции определяет объем соответствующего цилиндрического тела.

14.2. Вычисление двойного интеграла:

1.

Правило вычисления двойного интеграла по :

- строим область интегрирования и проверяем, является ли она правильной и стандартной по ;

- разрешаем уравнение границ области относительно ;

- переходим от двойного интеграла к повторному;

- берем внутренний интеграл по при произвольном постоянном ;

- вычисляем внешний интеграл.

2. .

14.3. Применения двойного интеграла:

· или - вычисление площади фигур;

· - вычисление объема;

· - масса плоской неоднородной пластины плотности (механический смысл двойного интеграла);

· 4) ; - статические моменты относительно осей

· ; - координаты центра масс пластины;

· - моменты инерции пластины.

14.4. Определение и вычисление тройного интеграла:

Пусть функция непрерывна в замкнутой облости .

Определение: Конечный предел интегральной суммы функции в области при условии, что и называется тройным интегралом от этой функции по области , где - диаметр частичной области.

Т.о. .

Вычисление тройных интегралов:

1.В декартовой системе координат:

2. В цилиндрической системе координат (ц.с.к.):

В ц.с.к.

,

.

;

Полезно использовать, что .

Тройной интеграл целесообразно вычислять в ц.с.к., если:

- область интегрирования ограничена хотя бы одной из поверхностей (прямой круговой цилиндр), (параболоид вращения), (прямой круговой конус) с ;

- область проецируется на плоскость в круг или любую его часть.

3. В сферической системе координат (с.с.к.):

;

;

.

Тройной целесообразно вычислять в с.с.к., если - шар или его часть.

Полезно использовать, что .

14.5. Применения тройного интеграла:

· - в декартовой системе координат;

· - в цилиндрической системе координат;

· - в сферической системе координат;

· - масса неоднородного тела с плотностью ;

· ;

;

- статические моменты относительно координатных плоскостей.

· ; ; - координаты центра масс;

· ;

; - моменты инерции тела относительно коорд. осей

;

· ;

; - моменты инерции тела относительно коорд. плоскостей

- момент инерции относительно .