Схема Бернулли

В приложениях теории вероятностей часто встречается некоторая стандартная схема, называемая схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. Имеет место теорема.

Теорема. Если вероятность наступления событии А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие А наступит т раз в независимых испытания, равна

, (19)

или

(19*)

где

Вероятность того, что событие наступит: а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз – находят соответственно по формулам:

а)

б)

в)

г) (20)

Опр. Число , которому при заданном соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим.

Для нахождения наивероятнейшего числа по заданным и р можно воспользоваться неравенствами

, (21)

причем:

а) если число - дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

б) если число - целое, то существует два наивероятнейших числа: и ;

в) если число - целое, то наивероятнейшее число

*Пусть производится независимых опытов, каждый из которых имеет т попарно несовместных и единственно возможных сходов с вероятностями , одинаковыми во всех опытах (). Для произвольных целых неотрицательных чисел обозначим через вероятность того, что в опытах исход наступит раз, исход наступит раз и т.д., исход наступит раз. Тогда справедлива формула

, (22)

которая является обобщением формулы Бернулли на случай, когда каждый из независимых опытов имеет т исходов .

Пример 10. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение.

Так как играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша , следовательно, вероятность проигрыша

Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны. Воспользуемся формулой 19*:

Найдем вероятность того, что три партии из шести будут выиграны:

Так как , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

Ответ: вероятнее выиграть две партии из четырех. [2, с.46-47]

Пример 11. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найдите наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение.

По условию , , . Воспользуемся неравенством 21: