Пример 1. Исследование напряженного состояния в точке сплошной среды

Пусть напряженое состояние точке тела задано компонентами тензора напряжений (например, в мегапаскалях) в некоторой системе координат: s_x = 2, s_y = 1, s_z = -2, t_xy = 1, t_yz = 3, t_zx = -2, то есть, задана матрица напряжений

(s) = (29)

Исследуем его.

Главные инварианты определим по формулам (19):

I1(s)= А = s_x + s_y + s_z = 1,

I2(s)= В = s_xs_y + s_ys_z + s_zs_x - t_xy² - t_yz² - t_zx² = -18,

I3(s)= С = s_xs_ys_z + 2t_xyt_yzt_zx –(s_xt_yz² +s_yt_zx² +s_zt_xy²) = -36.

Характеристическое уравнение (12), коэффициентами которого являются главные инварианты, выглядит так:

s³ - s² -18s +36 = 0. (30)

Главные напряжения, они же собственные числа тензора напряжений(см. 1.6) и его матрицы (29) являются корнями характеристического уравнения. Один из корней уравнения определяется подбором. Этот корень s₁ = 3. Представим уравнение (30) в виде произведения двух сомножителей:

(s -3)(s² + 2s -12) = 0.

Второй сомножитель обращается в ноль при

s_2,3 = = = -1 ± 3.606.

Таким образом, три главные напряжения (в порядке убывания) есть:

s₁ = 3, s₂ = 2,606, s₁ = - 4,606.

Напрвляющие косинусы площадок, на которых действуют главные напряжения, определяются рещением системы уравнений (10),(11). Например, для определения площадки, на которой действует главное напряжение s₁=3, подставив это значение в (10),приведем систему уравнений (10)-(11) к виду

- l + m- 2 n = 0

l -2m + 3 n = 0 (31)

-2l +3m- 5 n = 0

l² + m² + n² = 1

Первые три уравнения образуют линейную систему, определитель которой равен нулю, поскольку главное напряжение является корнем уравнения (12). Значит эта система особенная, одно из ее уравнений является следствием двух других. Отбросим третье уравнение и будем решать следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными:

- l + m- 2 n = 0

l -2m + 3 n = 0 (32)

l² + m² + n² = 1

Сложив первые два уравнения, получим m = n. Подставив это значение в первое уравнение, получим l = -n. Исключим l и m из последнего уравнения, определим сначала n: 3n² = 1, следовательно n = = ± 0,576, l =-n = 0,576, m =n =±0,576.

Лучшей проверкой правилльности решения является подстановка найденных корней в отброшенное (третье) уравнение системы (31), поскольку при этом проверяются не только действия, выполненные при решении системы (32), но и правильность определения главного напряжения.

Аналогично определяются направляющие косинусы двух других главных площадок. Они получаются равными:

для главного напряжения s₂ = 2,606: l = ±0,751, m =±0,653, n = ± 0,099;

для главного напряжения s₃ =-4,606: l = ±0,320, m = 0,491, n = ± 0,810;

Представим тензор напряжений в виде суммы шарового тензора и девиатора (25). Учитывая, что среднее нармальное напряжение в соответствии с (23) s_о = 1/3, получим в главных координатах:

=

В первоначальных осях:

=