Средние нормальные напряжения. Девиатор напряжений

Средним нормальным напряжением s_О называется среднее арифметическое значение нормальных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках или одна треть первого инварианта тензора напряжений:

s_О = . (23)

Тензор, у которого главные напряжения одинаковы и, следовательно, равны среднему нормальному напряжению, называется шаровым тензором. Такой тензор описывает равное всестороннее растяжение (или сжатие, если напряжения отрицательны) – такое напряженное состояние, при котором напряжения на любой площадке равны среднему нормальному.

Шаровой тензор I, у которого среднее значение равно единице, называется единичным тензором; ему соответствует единичная матрица (I):

I = (I) = (24)

В ряде случаев бывает удобно представить произвольный тензор напряжений s в виде суммы двух тензоров, один из которых является шаровым:

s = s_О I + D_s (25)

или (s) = s_О (I) + (D_s),

где s_О - среднее нормальное напряжение тензора s.

Тензор D_s называется девиатором напряжений (от английского deviation – отклонение). Он характеризует отклонение напряженного состояния от всестороннего растяжения. Девиатор напряжений – это то, что останется от тензора напряжений, если из него вычесть шаровую часть. Из (19) следует, что компоненты девиатора напряжений образуют матрицу

(D_s) = (26)

Первый инвариант девиатора (то есть сумма элементов, стоящих на главной диагонали) по определению равен нулю, а второй выражается через компоненты тензора напряжений формулой:

J2(Ds)=-1/6[(s_X-s_Y)²+(s_Y-s_Z)²+(s_Z-s_X)² +6(t_xy²+t_yz²+t_zx²)].

Третий инвариант девиатора нам в дальнейшем не понадобится.

Интенсивностью касательных напряжений T называют квадратный корень из второго инварианта девиатора напряжений:

T = = (27).

Величина s_i, которая в раз больше T называется интенсивностью нормальных напряжений или просто интенсивностью напряжений или напряжениями Мизеса (Mises Stress):

s_i = T = (28)

Заметим, что при одноосном напряженном состоянии (s₁ = s,

s₂ =s₃ =0) из (11) следует, что s_i = s, а при чистом сдвиге касательными напряжениями t (т.е при t_xy = t, s_x = s_y = s_z = t_yz = t_zx = 0) интенсивность касательных напряжений T = t.