Преобразование чисел

Компьютер работает с двоичными кодами, Пользователю удобнее иметь дело с десятичными или, по крайней мере, с шестнадцатеричными цифрами. Поэтому возникает необходимость перевода чисел из одной системы счисления в другую. Преобразование числа А из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием p ( преобразование A_(q) ® A_(p)) осуществляется по правилу замещения ли по правилу деления-умножения на основание системы счисления.

Правило замещения реализуется на основании формулы (1.1.) и предусматривает выполнение арифметических операций (возведения в степень, сложения) с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего применяется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

Пример 2.1. выполнить преобразование A₍₂₎ ® A_{(10) ,} если A₍₂₎ = 10101,011

A₍₁₀₎ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 0×2^-1 + 1×2^-2 + 1×2^-3 =

16 + 4 + 1 + 1/4 + 1/8 = 21,375

Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в исходной системе счисления, поэтому его удобно применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные системы счисления.

Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей – правило умножения. Для преобразования смешанных чисел используются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.

Правило деления. При преобразовании целого числа, записанного в q -ичной (десятичной) системе счисления, в р -ичную необходимо последовательно делить исходное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q -ичной (десятичной) системе. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного числами р -ичной системы счисления записывается код числа в новой системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.

Пример 8. Выполнить преобразование A₍₁₀₎ ® A_{(16) ,} если A₍₁₀₎ = 351.

351 16

-

336 21 16

-

15 16 1

В результате преобразования получаем A₍₁₆₎ = 15F

Правило умножения. При преобразовании дробного числа, записанного в q -ичной (десятичной) системе счисления, в р -ичную необходимо последовательно умножать и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q -ичной (десятичной) системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р -ичной системы дают последовательность цифр в новой р -ичной системе счисления.

Умножение необходимо производить до получения в искомом р -ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда искомой q -ичной (десятичной) дроби. При этом в общем случае код получается приближенно, и поэтому в случае обратного преобразования результат может не совпадать с исходным кодом.

Пример 9. Выполнить преобразование A₍₁₀₎ ® A_{(16) ,} если A₍₁₀₎ = 0,32.

0, 32

х

5, 12

х

1, 92

х

14, 72

. …

В результате преобразования получаем A₍₁₆₎ = 0,51Е …

Пример 10. Выполнить преобразование A₍₁₀₎ ® A_{(8) ,} если A₍₁₀₎ = 134,92

134 8 - 128 16 8 - 6 16 2	0, 92 х 7, 36 х 2, 88 х 7, 04 . …

В результате преобразования получаем A₍₈₎ = 206,727 …

Как следует из примера, процесс перевода дробной части можно продолжить до бесконечности, компьютер же оперирует числами, представленными конечными наборами цифр. Поэтому дроби округляют в соответствии с правилами преобразования и весом млад­шего разряда исходной дроби.

Преобразование чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=2³, a 16=2⁴.

Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).

При, преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тет­радой).

При преобразовании двоичного кода в восьмеричный или шестнадцатеричный двоич­ный код делится соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точ­ки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.

Например: 1CD,4₍₁₆₎ = 000111001101,0100₍₂₎ = 715,2₍₈₎ .

Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются.

Самостоятельная работа:

Попробуйте преобразовать число 77.77₈ → А₁₆ , используя правила «деления» и «умножения», а не упрощенные правила.

Таблицы соответствия двоичных (Bin), восьмеричных (Oct), шестнадцатеричных (Hex) и десятичных (Dec) цифр.

Bin	Oct	Hex	Dec
		A
		B
		C
		D
		E
		F