Математическое ожидание числа появления события в одном опыте. Закон распределения

Mx=0∙q+1∙p=p

q=1-p

Математическое ожидание числа появления события в одном испытании равно вероятности этого события.

Пусть проведено n опытов, где случайная величина x появилась.

Если M₁, то значит x₁

Если M₂, то значит x₂

…………………………

Если M_n, то значит x_n.

Можно найти среднее арифметическое x:

(p_i) – статистическая вероятность.

В соответствии с теоремой Бернулли среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Доказательство этой теоремы дал Чебышев (в 1846 году). Поэтому вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что оно примерно равно среднему значению.

Механическая интерпретация математического ожидания – это абсцисса центра тяжести системы материальных точек с общим весом равным единице.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание существует на интервале. В формуле нужно заменить x_i на непрерывно изменяющийся параметр х. p_i – элементом вероятности f(x)∙dx, а сумму интегралом.

то есть математическое ожидание непрерывной случайной величины равно определенному интегралу от произведения x на плотность распределения f(x).

Механическая интерпретация математического ожидания – это момент от суммарной силы p, приложенной к центру тяжести системы.

Мода – это наиболее вероятное значение. Она используется для классификации распределений по числу max ^ов или min ^ов. Если распределение имеет один max, то оно унимодальное. Если более одного – полимодальное. Если распределение имеет min, то оно антимодальное. Мода существует для дискретных случайных величин и непрерывных случайных величин.

Медиана – это абсцисса точки, в которой кривая распределения делится пополам. Кривая распределения непрерывной случайной величины:

μ_e

Можно воспользоваться свойствами, касающимися вероятности попадания x в область левее медианы: p(x<μ_e)=p(x>μ_e), то есть: p(x<μ_e)+p(x>μ_e)=1→ p(x<μ_e)=1/2=F(μ_e)=0,5.