Моменты двумерной выборки

Они являются смешанными:

· Начальные, порядка h₁ и h₂:

m_h1|h2=ΣΣx_i^h1∙y_j^h2∙p(x_i,y_j)

m_h1|0 – начальный момент компоненты x

m_1|0 – математическое ожидание компоненты x

m_0|h2 – начальный момент компоненты y

m_0|1 – математическое ожидание компоненты y

μ_h1|h2=ΣΣ(x_i-m_1|0)^h1∙(y_j- m_0|1)^h2∙p(x_i,y_j)^(h1,h2).

Основные:

Для нормальной поверхности распределения:

r_0|3=r_3|0=0

r_1|2=r_2|1=0

r_0|4=r_4|0=3

r_1|3=r_3|1=3∙r_1|1

r_2|2=1+2∙r_1|1²

Для нормальной поверхности распределения можно найти max по формуле:

Этот max достигается в точке, соответствующей центру распределения: x=a. По мере увеличения x и y плотность убывает сначала очень быстро, а затем медленнее, стремясь к нулю. Можно получить вертикальные и горизонтальные сечения. Вертикальные можно получить для каждой строки и каждого столбца таблицы распределения. Можно рассмотреть следующие формулы: условная плотность распределения y при заданном x –

Аналогично условная плотность распределения случайной величины x при заданном y –

Эти уравнения показывают, что распределения каждой строки и каждого столбца таблицы являются нормальными со средними значениям и и дисперсиями σ_2..1² и σ_1..2². Сечения представляют собой вертикальные плоскости параллельные координатным плоскостям yOz и xOz. Средние значения условных распределений изображаются точками на плоскости основания, соответствующими вершинам кривых распределения. При этом основные отклонения σ_2..1² и σ_1..2² одинаковы и равны, и являются независимыми. Эти уравнения называются корреляционными. Для нормальной корреляции корреляционные моменты будут линейными. Линии средних значений соответствующие графикам корреляционных уравнений являются прямыми, пересекающимися в точке, соответствующей центру распределения. Горизонтальные сечения нормальной поверхности распределения называются корреляционными эллипсами. Эти эллипсы являются концентрическими, подобными и подобнорасположенными, так как проецируются на плоскость под прямым углом.

- коэффициент max.

где x₁ и x₂ – отклонения от средних значений. Указанная в скобках функция называется квадратической и имеет вид: Ax²+Bxy+Cy². Эта функция соответствует каноническим сечениям:

поэтому сечения горизонтальными плоскостями являются эллипсами, переходящими в прямую линию, когда r=(+-)1. Значения случайных величин x₁ и x₂ – это координаты точек, лежащих на эллипсе – σ², в плоскости z=k. При разных k различны Θ², то есть меняется только величина корреляционных эллипсов. Центр эллипсов и расположение их относительно главных осей не меняются.