Формулы подобия плоскости

Для вывода формул преобразования подобия мы воспользуемся доказанной нами теоремой о разложении подобия в произведение движения на гомотетию.

Аналитическое задание гомотетии.

Пусть мы имеем прямоугольную декартовую систему координат Охy. Гомотетия плоскости задана центром О и коэффициентом k (k ¹ 0). Согласно определению гомотетии для любой точки Х и её образа Х^¢ выполняется равенство = k ×

Введем координаты точек Х (x,y) и Х^¢ (x¢,y¢). Тогда из предыдущего векторного равенства получим равенство для координат

(1)

Если выбрать в качестве центра гомотетии произвольную точку

Х₀ (x₀,y₀),

То векторное равенство несколько изменится

= k× ,

что в координатной форме приведет нас к системе

(2)

Формулы (2) представляют собой аналитическое задание гомотетии.

Таким образом формулы (1) и (2) являются формулами гомотетии плоскости с коэффициентом k и, соответственно, центрами О(0,0) и Х₀ (x₀,y₀).

Формулы движения плоскости также нам известны:

(3)

где Е = 1, если g – движение I рода, и

Е = –1, если g – движение II рода.

Поэтому, учитывая разложение подобия плоскости на движение и гомотетию, получим аналитическое выражение подобия