Задание №2

Даны параллельные прямые а и b, пересекающая их прямая с и отрезок длины m, так, чтобы его вершины лежали соответственно на данных прямых.

Решение:

Анализ. Пусть искомый треугольник АВС построен: А а, В b, C c, и = = = m (рис.1),

рис. 1

выполним перенос треугольника АВС, причём = а. Получим треугольник со сторонами данной длины m, причём а, b.

Так как треугольник , две вершины которого лежат на прямых а и b, построить нетрудно, то на этом анализ можно закончить. Таким образом, задачу можно свести к построению равностороннего треугольника со стороной длины m, причём а, b, а затем к последующему параллельному переносу треугольника , причём конец С вектора определяется как точка пересечения прямой = а с данной прямой с.

рис. 2

Построение (рис.2) Выбираем произвольную точку а. Описываем окружность , m). Находим точку b. Описываем окружность , m). Находим точку . Через точку проводим прямую k а и находим точку С= k с. Откладываем = = и получаем треугольник АВС.

Доказательство. По построению треугольник удовлетворяет всем поставленным условиям, кроме условия с. После параллельного переноса удовлетворяет и это условие. Таким образом, - искомый.

Исследование. При выбранном способе построения число решений задачи зависит прежде всего от числа точек b. Если радиус m окружности больше расстояния h между прямыми а и b, то таких точек две.

Если m = h, то окружность касается прямой b и тогда точка пересечения одна.

Если же m h, то окружность и прямая b не пересекаются. Окружности всегда имеют общие точки, так как по построению , . Значит, при любом выборе точки образуются две точки пересечения окружностей