Решение

Анализ.

Предположим, что данный квадрат МNPQ вписан в треугольник АВС. Построим другой квадрат M′N′P′Q′, удовлетворяющий всем условиям задачи, кроме того, что точка P′ лежит на стороне ВС, и рассмотрим гомотетию с центром в точке А, при которой точка P′ переходит в точку Р. Очевидно при этой гомотетии квадрат M′N′P′Q′ перейдет в квадрат МNPQ (рис.1)

рис.1

Построение.

Строим квадрат M′N′P′Q′ и рассмотрим гомотетию с центром в точке А, при которой точка P′ переходит в точку Р, где Р – точка пересечения луча АP′ со стороной ВС.

Строим прямые, проходящие через точку Р и параллельно соответственно прямым P′Q′ и N′P′.Точки Q и N точки пересечения этих прямых соответственно со сторонами АВ и АС. Далее строим через точку Q прямую, параллельную прямой N′P′.Точка М – точка пересечения этой прямой со стороной АС. Квадрат МNPQ – искомый (рис.2).

рис.2

Доказательство следует из свойств гомотетии.

Исследование. Задача, очевидно, в любом случае имеет единственное решение.

Список литературы

1. Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. Геометрия, ч. 1. – М.,1976. 448 стр.

2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия, ч. 1. – М., 1986. 352 стр.

3. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.

4. Сборник задач по геометрии (часть 1./Под ред. Л.С. Атанасяна. - М.: Просвещение. - 1975.

5. Базылев В.Г., Дуничев К.И. Геометрия, 1. - М.: Просвещение. - 1975.

6. Бакельман И.Я.Высшая геометрия. М.: Просвещение,1967, - 367 с.

7. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. -М.,

Просвещение, 1994. 220 с.

8. Берже Марсель. Геометрия. - М.: Мир.- 1984. Т. 1.

9. Берже Марсель. Задачи по геометрии с комментариями и решениями. - М.: Мир. - 1989.

10. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.- С. Петер-

бург, 1997.