Принципы аппроксимации

Самый простой вид аппроксимации - ступенчатая. Она заключается в представлении (замене) гармонического колебания напряжением ступенчатой формы, весьма мало отличающейся от синусоидальной кривой (рисунок 5.4.2,а).

Рисунок 5.4.2 Цифровой генератор низких частот:

а – ступенчатая аппроксимация, б – упрощенная структурная схема

Поясним суть ступенчатой аппроксимации сигналов. Аппроксимируемое гармоническое напряжение u(t)=U_msinωt дискретизируется по времени с равномерным шагом ∆t. В интервале, разделяющем два соседних момента времени t _i и t _{i +1}, синусоидальное колебание заменяется напряжением постоянного тока — ступенькой, высота которой равна значению аппроксимируемого напряжения в момент t_i, т.е. u(t _i) = U_msinωt _i. В результате такой замены, вместо кривой синусоидальной формы получается ступенчатая линия, изображенная на рисунке 5.4.2, а.

При имеющемся периоде Т гармонического колебания число ступенек р, приходящихся на один период, определяется шагом дискретизации: р=Т/Δt. Если же из технических соображений число ступенек задано, то изменение шага дискретизации приводит к изменению периода формируемого напряжения, поскольку р=Т/Δt.

Учитывая, что t _i = i´Δt, уравнение ступенчатой кривой можно представить в виде

u(i Δt) = U_msin(ωiΔt)

или с учетом значения р и соотношения ω=2π в виде:

u(i Δt)=U_msin(i2π/p).

Чем больше выбрано число ступеней р, тем точнее ступенчатая кривая приближается к синусоидальной форме (уменьшается погрешность аппроксимации). Когда это число достаточно велико, сформированное ступенчатое напряжение можно рассматривать как низкочастотное синусоидальное напряжение, искаженное в небольшой степени высокочастотной аддитивной помехой.

Спектральный анализ напряжения, полученного путем ступенчатой аппроксимации, выявляет, что его спектр содержит гармонику основной частоты. Разложение в ряд Фурье показывает, что ближайшей высшей гармоникой будет составляющая с номером p-1, следующей — гармоника номера p+1, затем гармоники номеров 2р-1 и 2р+1 и т. д.

Например, при р = 25 и частоте напряжения f основной гармоники ближайшими высшими гармониками будут 24-я, 26-я и 49-я, 51-я гармоники, т. е. напряжения частот 24f, 26f, 49f, 51f.

Такие соотношения между основной и высшими гармониками позволяют просто осуществить высококачественную фильтрацию, резко ослабляющую высшие гармоники, и получить синусоидальное напряжение, характеризуемое очень малым коэффициентом нелинейных искажений (коэффициентом гармоник).

Упрощенная структурная схема цифрового генератора, формирующего ступенчатую кривую, приведена на рисунке 5.4.2, б.

Импульсный кварцевый генератор вырабатывает периодическую последовательность коротких импульсов с периодом следования Т.

На выходе делителя частоты с регулируемым коэффициентом деления g получается последовательность импульсов с периодом следования Δt=gT, задающим шаг дискретизации.

Импульсы поступают в счетчик емкостью р. Кодовая комбинация, определяемая числом i импульсов, накопленных в счетчике, передастся в схему ЦАП.

Цифро-аналоговый преобразователь вырабатывает напряжение, соответствующее числу i, т.е. u(iΔt)=U_msin(i2π/p). Таким образом формируются р ступенек аппроксимируемой кривой. После накопления р импульсов счетчик переполняется и сбрасывается в нуль. С приходом (р+1)-го импульса начинается формирование нового периода ступенчатой кривой.

Частоту формируемого колебания при фиксированном числе ступенек р регулируют, изменяя шаг дискретизации Δt, что достигается изменением коэффициента деления g делителя частоты.