Основные задачи математической статистики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Основные задачи математической статистики

Математические законы теории вероятностей не являются беспред» метными абстракциями, лишенными физического содержания; они представляют собой математическое выражение реальных закономер­ностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях природы.

До сих пор, говоря о законах распределения случайных величин, мы не затрагивали вопроса о том, откуда берутся, на каком осно­вании устанавливаются эти законы распределения. Ответ на вопрос вполне определенен — в основе всех этих характеристик лежит опыт; каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами тео­рии вероятностей, прямо или косвенно опирается на эксперименталь­ные данные. Оперируя такими понятиями, как события и их вероят­ности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретиче­ским путем определять вероятности одних событий через вероятности других, законы распределения и числовые характеристики одних случайных величин через законы распределения и числовые характе­ристики других. Такие косвенные методы позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, корнями своими всегда уходит в эксперимент, в опытные данные, в систему наблюдений.

Разработка методов регистрации, описания и анализа статисти­ческих экспериментальных данных, получаемых в результате наблю­дения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки — математической статистика.

Все задачи математической статистики касаются вопросов обра­ботки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зави­симости от характера решаемого практического вопроса и от объема

9*

132 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. 7

имеющегося экспериментального материала эти задачи могут прини­мать ту или иную форму.

Охарактеризуем вкратце некоторые типичные задачи математи­ческой статистики, часто встречаемые на практике.

1. Задача определения закона распределения

случайной величины (или системы случайных

величин) по статистическим данным

Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массо­вых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с огра­ниченным количеством экспериментальных данных; в сбязи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат боль­ший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и про­являются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обра­ботки экспериментальных данных следует предъявить такие требо­вания, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного мате­риала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания стати­стических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.

2. Задача проверки правдоподобия гипотез

Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным стати­стическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с ббльшим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения F(x)? Другой подобный вопрос: указывает ли наблюденная в опыте тен-

7.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 133

денция к зависимости между двумя случайными величинами на нали­чие действительной объективной зависимости между ними или же она объясняется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математи­ческая статистика выработала ряд специальных приемов.

3. Задача нахождения неизвестных параметров распределения

Часто при обработке статистического материала вовсе не возни­кает вопрос об определении законов распределения исследуемых слу­чайных величин. Обыкновенно это бывает связано с крайне недоста­точным объемом экспериментального материала. Иногда же характер закона распределения качественно известен до опыта, из теоретических соображений; например, часто можно утверждать заранее, что случай­ная величина подчинена нормальному закону. Тогда возникает более узкая задача обработки наблюдений — определить только некоторые параметры (числовые характеристики) случайной величины или системы случайных величин. При небольшом числе опытов задача более или менее точного определения этих параметров не может быть решена; в этих случаях экспериментальный материал содержит в себе неиз­бежно значительный элемент случайности; поэтому случайными ока­зываются и все параметры, вычисленные на основе этих данных. В таких условиях может быть поставлена только задача об опреде­лении так называемых «оценок» или «подходящих значений» для искомых параметров, т. е. таких приближенных значений, которые при массовом применении приводили бы в среднем к меньшим ошиб­кам, чем всякие другие. С задачей отыскания «подходящих значений» числовых характеристик тесно связана задача оценки их точности и надежности. С подобными задачами мы встретимся в главе 14.

Таков далеко не полный перечень основных задач математиче­ской статистики. Мы перечислили только те из них, которые наиболее важны для нас по своим практическим применениям. В настоящей главе мы вкратце познакомимся с некоторыми, наиболее элементар­ными задачами математической статистики и с методами их решения.