интервале; тогда можно поставить задачу о рациональном выборе параметров того закона равномерной плотности
которым можно наилучшим образом заменить (выровнять) заданное статистическое распределение.
Следует при этом иметь в виду, что любая аналитическая функция / (лг), с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределения:
Предположим, что, исходя из тех или иных соображений, нами выбрана функция/(х), удовлетворяющая условиям (7.5.2), с помощью которой мы хотим выровнять данное статистическое распределение; в выражение этой функции входит несколько параметров а, Ь,...; требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция / (х) наилучшим образом описывала данный статистический материал. Один из методов, применяемых для решения этой задачи, — это так называемый метод моментов.
Согласно методу моментов, параметры а, Ь,... выбираются с таким " расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая f(x) зависит только от двух параметров а и Ь, эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание тх и дисперсия Dx теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками тх и Dx- Если кривая / (х) зависит от трех параметров, можно подобрать их так, чтобы совпали первые три момента, и т. д. При выравнивании статистических рядов может оказаться полезной специально разработанная система кривых Пирсона, каждая из которых зависит в общем случае от четырех параметров. При выравнивании эти параметры выбираются с тем расчетом, чтобы сохранить первые четыре момента статистического распределения (математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый моменты)'). Оригинальный набор кривых распределения, построенных
|
|
146 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. 7
по иному принципу, дал Н. А. Бородачевх). Принцип, на котором строится система кривых Н. А. Бородачева, заключается в том, что выбор типа теоретической кривой основывается не на внешних формальных признаках, а на анализе физической сущности случайного явления или процесса, приводящего к тому или иному" закону распределения.
Следует заметить, что при выравнивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами порядка выше четвертого, так как точность вычисления моментов резко падает с увеличением их порядка.
Пример. 1. В п° 7.3 (стр. 137) приведено статистическое распределение боковой ошибки наводки X при стрельбе с самолета по наземной цели. Требуется выровнять это распределение с помощью нормального закона:
|
|
Решение. Нормальный закон зависит от двух параметров: т и а. Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента — математическое ожидание и дисперсию — статистического распределения.
Вычислим приближенно статистическое среднее ошибки наводки по формуле (7.4.7), причем за представителя каждого разряда примем его середину:
т* = — 3,5 • 0,012 — 2,5 • 0,050 — 1,5 • 0,144 — 0,5 • 0,266 + 0,5 • 0,240 +
+1,5 • 0,176 + 2,5 • 0,092 + 3,5 • 0,020 = 0,168.
Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле (7.4.9), полагая s = 2, k = 8
Пользуясь выражением дисперсии через второй начальный момент (формула (7.4.6)), получим:
Выберем параметры т и о нормального закона так, чтобы выполнялись условия:
то есть примем:
Напишем выражение нормального закона:
7.5]
ВЫРАВНИВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЯДОВ
Пользуясь в табл. 3 приложения, вычислим значения / (х) на границах разрядов
X | —4 | —3 | —2 | —1 | |||||
/(■*) | 0,004 | 0,025 | 0,090 | 0,199 | 0,274 | 0,234 | 0,124 | 0,041 | 0,008 |
Построим на одном графике (рис. 7.5.2) гистограмму и выравнивающую ее кривую распределения.
Из графика видно, что теоретическая кривая распределения / (х), сохраняя, в основном существенные особенности статистического распределения, свободна от случайных неправильностей хода гистограммы, которые, по-видимому, могут быть отнесены за счет случайных причин; более серьезное обоснование последнему суждению будет дано в следующем параграфе.
Примечание. В данном примере при определении D*x мы воспользовались выражением (7.4.6) статистической дисперсии через второй начальный момент. Этот прием можно рекомендовать только в случае, когда математическое ожидание т*х исследуемой случайной величины X сравнительно невелико; в противном случае формула (7.4.6) выражает дисперсию Dx как разность близких чисел и дает весьма малую точность. В случае, когда это имеет место, рекомендуется либо вычислять Dx непосредственно по формуле (7.4.3), либо перенести начало координат в какую-либо точку, близкую к тх, и затем применить формулу (7.4.6). Пользование формулой (7.4.3) равносильно перенесению начала координат в точку /»*; это может