Интегральная формула Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных испытаний событие появляется с одинаковой вероятностью , . Требуется вычислить вероятность . В принципе каждое слагаемое можно вычислить по локальной формуле Муавра-Лапласа (3), но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие наступит в независимых испытаниях не менее и не более раз (включительно), приближенно равна определенному интегралу , где , . (4)

Преобразуем соотношение (4):

где – функция Лапласа (или интеграл вероятностей).

Вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз

, где , . (5)

Функция табулирована. При пользовании таблицей следует применять следующие свойства функции : 1) функция нечетная, т.е. ;

2) (на практике при ).

Приведем следствие интегральной теоремы Лапласа.

Следствие. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе независимых испытаний вероятность того, что:

1) отклонение числа наступлений события от произведения по абсолютной величине не более чем на заданную величину