Противоположными называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать . Противоположное событие состоит в непоявлении события А.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А)+Р( )= 1.
Пример 4. В ящике имеется 11 деталей, из которых 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная.
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
1 способ. События “среди извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная” и “среди извлеченных деталей нет ни одной бракованной” - противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе через :
Р(А) =1 - Р().
Найдем Р( ). Общее число способов, которыми можно извлечь 3 детали из 11 деталей, равно числу сочетаний . Число стандартных деталей равно 8; из этого числа деталей можно способами извлечь 3 стандартных детали. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных 3 деталей нет ни одной нестандартной, равна:
|
|
По теореме сложения вероятностей противоположных событий искомая вероятность равна: P(A)=1 - P( )=
2 способ. Событие А - "среди извлеченных деталей есть хотя бы одна бракованная" - может реализоваться, как появление:
или события В - "извлечены 1 бракованная и 2 не бракованные детали",
или события С - "извлечены 2 бракованные и 1 не бракованная детали",
или события D - "извлечены 3 бракованные детали".
Тогда A=B+C+D. Так как события B, C и D несовместные, то можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий: