Модуль и иррациональные уравнения

Ситуация, связанная с необходимостью использования понятие модуля, возникает и при решении иррациональных уравнений.

Пример. Решим уравнение:

Решение. Введем новую переменную. Пусть , где y 0,

тогда

Данное уравнение примет вид: .

Последнее уравнение, равносильно решая которое, методом интервалов, получим:

Таким образом, , то есть . Последнему неравенству удовлетворяют значения x, принадлежащие отрезку

Ответ.

Напомним, что простейшие уравнения с модулем имеют вид: и . Решим уравнения на основании определения модуля сведением к совокупности систем.

Пример. Решим уравнение: .

Решение. Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения, записанные под модулем, обращаются в нуль:

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим каждую из систем.

Решение первой системы:

Полученная система не имеет корней, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Решим вторую систему:

Ответ. .

Пример. Решим уравнение:

Решение. Чтобы выделить интервалы знакопостоянства, найдем точки, в которых выражения под модулем, обращаются в нуль:

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим первую систему:

Пересечение множеств и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решим вторую систему:

Ответ. .