Розв’язання

1. 1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.

В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.

2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали

3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.

В даному випадку:

Якщо , то із маємо , функція - зростає;

Якщо , то із функція - спадає;

Якщо ж , то , функція - зростає.

Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.

4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак

з “-“ на “+”, то в точці - ,

з “+” на “-“, то в точці - .

У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,

При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум

Відповідь: .

2. . Область існування: .

Знаходимо похідну

Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали

на - ф. зростає;

на - ф. спадає;

на - ф. зростає.

У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.

;

Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.

Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна