Максимуми і мінімуми функції

Означення 1. Функція y=f(x) має максимум в точці х₀, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

¦(х)£¦(х₀).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х₁, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

¦(х)³¦(х₁).

f(x₂)=y_max

Y f(x₀)=y_max

f(x₃)=y_min

f(x₁)=y_min

x₀ x₁ x₂ x₃ X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x₀,x₁,x₂,x₃ – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х₀, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто ¦¢(х₀)=0.

Наприклад. На рис.1 ¦¢(х₀)=¦¢(х₁)=¦¢(х₂)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

¦¢(х₀)=0 y=f(x)

0 x₀ X

рис.43

Точки в яких ¦¢(х₀)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де ¦¢(х₀)=0, також серед точок, в яких похідна ¦¢(х) не існує. Наприклад в точці х₃ (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х₃ – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=¦(х):

1) неперервна при х=х₀;

2) має похідну ¦¢(х₀) в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3) похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х₀.

Тоді, якщо при переході через точку х₀ (зліва направо)

а) ¦¢(х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х₀ маємо максимум;

б) ¦¢(х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х₀ маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х₀ екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=¦(х) в точці х=х₀ має першу і другу похідну, причому ¦¢(х₀)=0, а ¦¢¢(х₀)¹0, і ¦¢¢(х) неперервна в околі точки х=х₀, то в точці х=х₀ у=¦(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо ¦¢¢(х₀)<0, і мінімум, якщо ¦¢¢(х₀)>0.

Див., напр., рис. 44

Y

x₀ x₁ X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли ¦¢(х₀)=0 і ¦¢¢(х₀)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=¦(х) має в околі точки х=х₀ неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f⁽ⁿ⁾(x₀)¹0, то при n парному функція має максимум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, i мінімум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)>0; якщо n – непарне, то функція екстремума в точці х=х₀ не має.