6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну
, якщо .
Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.
7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .
8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції
.
9. .
,
якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто
при .
Приклади для самостійного розв’язання.
Визначити проміжки монотонності функцій
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9.
Довести нерівності
10. , якщо .
11. .
12. .
13. .
Відповіді. 1. ; .
2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .
6. . 7. . 8. .
9. .