Розв’язання

6. Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.

7. Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .

8. Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто

при .

Приклади для самостійного розв’язання.

Визначити проміжки монотонності функцій

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9.

Довести нерівності

10. , якщо .

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1. ; .

2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .