Теорема Безу и следствие из нее. Корни многочлена

Найдем остаток от деления многочлена P (x) на линейный двучлен вида (x ‑ a), где a – некоторое число. Поскольку многочлен‑делитель имеет первую степень, остаток должен иметь нулевую степень, то есть представлять собою некоторое число r. Тогда если Q (x) – многочлен-частное, то имеет место равенство: P (x) = Q (x)·(x ‑ a) + r. Подставив в полученное равенство вместо x число a, получим: P (a) = Q (a)·(a ‑ a) + r = Q (a)·0 + r = r. Таким образом, оказывается, что остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (x ‑ a) можно найти, не выполняя деления, подставив в многочлен-делимое a вместо x. Доказанное утверждение, успешно применяемое при решении многих нестандартных задач, составляет суть теоремы Безу (Этье́нн Безу́, 1730 - 1783, французский математик, член Парижской академии наук).

Теорема Безу: Остаток r от деления многочлена P (x) на двучлен (x ‑ a) равен значению этого многочлена в точке a, т.е. r = P (a).

Замечание 1: Многочлен называется приведенным, если его старший коэффициент (т.е. коэффициент при слагаемом наибольшей степени) равен 1. Например, многочлены , - приведенные, а , - нет.

Замечание 2: При делении многочлена с целыми коэффициентами на приведенный многочлен с целыми коэффициентами все коэффициенты многочлена-частного и многочлена-остатка оказываются также целыми (это легко понять, вспомнив, как выполняется деление многочлена на многочлен «уголком»). В частности, при делении многочлена с целыми коэффициентами на двучлен (x ‑ a), где a – целое число, все коэффициенты многочлена-частного оказываются целыми.

Число a называется корнем многочлена P (x), если P (a) = 0 (другими словами, если число a – корень уравнения P (x) = 0). Например, числа 1 и -1 являются корнями многочлена , числа -2 и 5 – корнями многочлена , а многочлен не имеет корней, поскольку невозможно выполнение равенства . Из теоремы Безу следует, что если число a является корнем многочлена P (x), то остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (x ‑ a) равен P (a) = 0, то есть многочлен P (x) делится на (x ‑ a) без остатка. Другими словами, если a – корень многочлена P (x), то P (x) представим в виде: P (x) = (x ‑ a)· Q (x). Это утверждение составляет суть следствия из теоремы Безу.

Следствие из теоремы Безу: Число a является корнем многочлена P (x) тогда и только тогда, когда P (x) делится на (x ‑ a) без остатка.

Задачи:

1. Найдите остаток от деления многочлена на .

2. Найдите многочлен третьей степени, который при делении на x дает остаток 1, на x ‑ 2 – остаток 3, а на делится без остатка.

3. Докажите, что многочлен делится на .

4. При каких значениях a и b многочлен делится без остатка на следующие многочлены:

а) ;

б) ?

5. При делении многочлена на x ‑ 1 в остатке получается 2, а при делении на x ‑ 2 — 1. Каков остаток от деления этого многочлена на ?

6. Найдите остаток от деления многочлена на .

7. Известно, что остаток от деления многочлена на равен 2 x + 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на:

а) x – 1;

б) 3 x + 2;

в) .

8. Найдите приведенный многочлен четвертой степени, если известно, что он делится без остатка на , а при делении на дает в остатке .

9. Какими могут быть остатки от деления многочлена P (x) на x – 1, а многочлена Q (x) – на x + 1, если при делении на x ² – 1 многочлена в остатке получается -6?