Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на
Пусть ‑ корень многочлена , т.е. Разделим на где степень меньше степени , которая равна Значит, степень равна , т.е. . Значит, , . Так как , то из последнего равенства следует, что т.е. .
Обратно, пусть делит , т.е. . Тогда .
Следствие. Остаток от деления многочлена на равен .
Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.
Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.
Пусть и пусть где . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства имеем:
откуда | (11.1) |
Число называется корнем кратности многочлена , если делит , но уже не делит .
Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.
|
|
Число различных корней многочлена не превосходит его степени.
Большое значение имеет следующая основная теорема.
Основная теорема. Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).
Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.
(11.2) |
где ‑ корни , т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:
,
где уже различные корни , ‑ кратность корня .
Если многочлен , , с действительными коэффициентами имеет корень , то число также корень
Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.
Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.
Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение
Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.
При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.
|
|
Рациональной дробью называется дробь где и ‑ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде , где и – некоторые многочлены, а – правильная рациональная дробь.