Теорема:
Остаток от деления многочлена на линейный двучлен равен значению многочлена при .
Доказательство:
т. к. делиться на , то остаток от деления является числом не зависящим от x
Следствие (критерий того, чтобы многочлен имел корень):
Число является корнем многочлена .
Доказательство:
1. Необходимость:
Дано: c – корень .
Доказать: .
(т.к. c – корень).
По теореме Безу .
2. Достаточность:
Дано: .
Доказать: c – корень .
(т.к. ).
.
Замечание:
По схеме Горнера можно решать следующие задачи:
1) Найти частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен.
2) Находить значение многочлена при любом .
3) Определять является ли число c корнем многочлена.
Нахождение коней многочлена равносильно нахождению его линейных делителей вида .
Кратные корни. Теорема о числе корней многочлена n – степени.
Число c называется k – кратным корнем , если , но не делится на .
Кратность корня многочлена можно определять с помощью схемы Горнера.
Пример: Определить кратность корня
|
|
-16 | -16 | |||||
-2 | -4 | -8 |
-2 – корень.
-2 | -4 |
-2 | -2 |
-2 | -1 |
-2 | -3 |
Теорема:
Если имеет степень n, то число корней этого многочлена, принадлежащих полю P, не превосходит n.
Доказательство:
Пусть – корень .
По следствию из теоремы Безу:
Если не имеет корней над P, то имеет 1 корень.
Пусть - корень .
– корень , т.к.
Если продолжим рассуждения.
Пусть – корень .
– корень .
m – корень.
Если бы , то в правой части ст. больше m, получим противоречие. Следовательно, .
Следствие: Нулевой многочлен над любым полем имеет бесконечно много корней.