Теорема о k-кратном множителе

.

Первой производной многочлена называется многочлен вида:

.

Второй производной многочлена называется производная от первой производной многочлена :

.

Для многочленов справедливы правила дифференцирования:

1) ;

.

2) ;

.

3) ;

.

4) ;

.

Теорема о кратном множителе многочлена :

Если является k-кратным множителем в разложении многочлена над P, то этот многочлен будет являться множителем (k-1) кратности в разложении его производной .

Доказательство:

ð

Покажем, что .

Сумма .

Многочлен для является (k-1)-кратным.

Теорема о k-кратном корне многочлена :

, c – k-кратный корень многочлена .

Всякое число с, являющееся корнем k-кратности многочлена , является корнем его производной кратности (k-1).

Доказательство:

Дано: c – k-кратный корень.

c – корень (k-1) кратности.

Пример: ,

		-32		-76
		-22		-14

.

с=1 – корень.

Следствие:

1)

- могут быть нулями.

.

Произведение всех общих множителей, входящих в разложение каждого из них:

.

,

произведение неприводимых множителей, входящих в разложение хотя бы одного.

Учитывая теорему о k-кратном множителе многочлена можно доказать следующую теорему.

2) Многочлен не имеет кратных множителей ó .

Доказательство:

Пусть дан многочлен .

.

.

Дано: многочлен не имеет кратных множителей.

В произведение будут входить в 0-ой степени.

Тогда .

. => Значит каждый в разложение входит в 0-ой степени, значит, в сам многочлен он войдет в 1 степени.

Пример:

Есть ли кратные неприводимые множители?

D<0. Найти НОД.

- 4-ой степени.

.