Теорема Менелая
Произведение отношений, в которых любая прямая, не проходящая через вершины трёхсторонника, делит его стороны, всегда равно +1.
1. Медиана ВМ треугольника АВС делится точкой О в отношении m: n.
В каком отношении прямая АО делит сторону ВС? Ответ: m: 2n
2. (ЕГЭ) Дан треугольник АВС. Точка Т делит ВС в отношении 1: 2.
Прямая АТ пересекает медиану СМ в точке Е. Найдите отношение площади
треугольника АВС к площади треугольника АМЕ. Ответ: 10: 1 или 6: 1
3. (городская олимпиада – 2005 – 9 класс) В треугольнике АВС угол В
равен 1200, АВ > ВС. Через середину М стороны АС проведена прямая,
пересекающая сторону АВ в точке К и продолжение стороны ВС
в точке Р. Найти величину угла КРВ, если известно, что АК = КВ + ВС.
Ответ: 60 0
4. (городская олимпиада – 2005 – 10 класс) Вписанная в треугольник АВС
окружность касается сторон АВ, ВС и АС в точках соответственно М,
N и К. Прямая, проходящая через середину Е стороны АС параллельно
MN, пересекает прямые АВ и ВС в точках соответственно Р и Т.
Докажите, что АР = ЕК = СТ.
|
|
Cтепень точки относительно окружности
Определение р(М), доказательство инвариантности р(М), знаки р(М), функция р(х) и её график. Геометрическое место точек, степень которых относительно одной или двух окружностей одинакова.
1. Основание равнобедренного треугольника равно 2, а боковая сторона равна 6.
Отрезок с концами на боковых сторонах треугольника параллелен основанию
и делится окружностью, вписанной в треугольник, в отношении 1: 3: 1.
Найдите длину этого отрезка. или
2. Хорда AD окружности пересекает два взаимно перпендикулярных
радиуса этой окружности в точках А и С. Известно, что радиус окружности
равен и АВ: ВС: СD = 3: 4: 5. Найти длину хорды AD. Ответ: 12Ö3
3. Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Из точки О
вне обеих окружностей проведён луч, который пересекает обе окружности
последовательно в точках А, В, С, D, причём ОА = 8, АВ = 2,
ВС = 14, СD = 6. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки О
на прямую, проходящую через центры окружностей. Ответ: 4Ö15