Теорема Менелая

Произведение отношений, в которых любая прямая, не проходящая через вершины трёхсторонника, делит его стороны, всегда равно +1.

1. Медиана ВМ треугольника АВС делится точкой О в отношении m: n.

В каком отношении прямая АО делит сторону ВС? Ответ: m: 2n

2. (ЕГЭ) Дан треугольник АВС. Точка Т делит ВС в отношении 1: 2.

Прямая АТ пересекает медиану СМ в точке Е. Найдите отношение площади

треугольника АВС к площади треугольника АМЕ. Ответ: 10: 1 или 6: 1

3. (городская олимпиада – 2005 – 9 класс) В треугольнике АВС угол В

равен 120⁰, АВ > ВС. Через середину М стороны АС проведена прямая,

пересекающая сторону АВ в точке К и продолжение стороны ВС

в точке Р. Найти величину угла КРВ, если известно, что АК = КВ + ВС.

Ответ: 60 ⁰

4. (городская олимпиада – 2005 – 10 класс) Вписанная в треугольник АВС

окружность касается сторон АВ, ВС и АС в точках соответственно М,

N и К. Прямая, проходящая через середину Е стороны АС параллельно

MN, пересекает прямые АВ и ВС в точках соответственно Р и Т.

Докажите, что АР = ЕК = СТ.