Доказательство

Пусть непрерывна на отрезке , тогда по второй теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего максимального и минимального значений, т.е. существуют точки х ₁ и х ₂ , принадлежащие отрезку такие, что , причем .

Могут представиться два случая:

1) m = M, следовательно, m = M = f (x) = const = C, тогда в любой точке .

2) m < M, при этом , тогда хотя бы одно из двух значений m или M не принимается на концах , т.е. существует точка , в которой функция принимает либо наименьшее, либо наибольшее значение f (c). А так как функция дифференцируема на интервале , то по теореме Ферма

(что и требовалось доказать)