Исследование релейной АСР в скользящем режиме

Рассмотрим нелинейную следящую систему, описанную в разд. 2.4, в которой исполнительным устройством является электрический двигатель, а регулятор представляет собой идеальное реле (рис. 2.14).

Пусть, например, передаточная функция замкнутого контура скорости

,

где Т = 0,14 с; x = 0,707; K = 3,75.

Регулятор (идеальное реле) характеризуется параметром с = 10.

После очевидных преобразований передаточная функция замкнутой системы

,

а характеристическое уравнение

или

,

где a ₃ = T ² = 0,142 = 0,0196;

a ₂ = 2 xT = 2 × 0,707 × 0,14 = 0,198;

a ₁ = 1;

a ₀ = K × q = 3,75 × q.

Для возникновения автоколебаний, как уже указывалось, необходимо наличие чисто мнимого корня p = jw

.

Действительная и мнимая части

;

.

Из уравнения V (w) = 0 может быть определена частота автоколебаний

с^-1.

Период колебаний

с.

Теперь из уравнения U (w) = 0 с учетом w = w_а можно определить амплитуду автоколебаний

.

Для обоснования справедливости применения метода гармонической линеаризации необходимо проверить гипотезу фильтра. Для этого найдем значения АЧХ линейной части системы на частотах w_а и 2 w_а (вторая гармоника).

АЧХ линейной части можно представить в виде

,

где А ₁(w) и А ₂(w) – АЧХ колебательного и интегрирующего звеньев

.

После подстановки численных значений параметров получим А (w_а) = 0,32, А (2 w_а) = 0,058. Так как А (2 w_а) << А (w_а), можно считать, что ЛЧ практически не пропускает высшие гармоники и, таким образом, является фильтром нижних частот, а применение метода гармонической линеаризации справедливо.

Для проверки найденного периодического режима на устойчивость применим к характеристическому уравнению критерий устойчивости Гурвица. Для системы третьего порядка при положительности всех коэффициентов условие устойчивости сводится к выполнению неравенства

, (2.14)

которое при A (t) = А ₀ должно принять вид равенства

.

Подставив в уравнение U (w) = 0, получим

или

. (2.15)

Левая часть неравенства (2.14) отличается от выражения (2.15) только значением a ₀ = K × q, так как в первом случае коэффициент гармонической линеаризации , а во втором – .

При A (t) = A ₀ неравенство (2.14) обращается в равенство.

При A (t) > A ₀ неравенство (2.14) выполняется, и величина A (t), уменьшаясь, стремиться к A ₀.

При A (t) < A ₀ неравенство (2.14) не выполняется, величина A (t) возрастает, стремясь к A ₀ и оставаясь меньше ее. Следовательно, найденное решение устойчиво, и в системе наблюдаются автоколебания.

Оценить значение a, обеспечивающего А ₀ < А_зад можно из характеристического уравнения системы с учетом дополнительной обратной связи по производной. При этом ; . Для рассматриваемого случая w_а = 21,97 с^-1; a = 0,089.

Модель АСУ в Simulink приведена на рис. 2.24. В ней предусмотрена возможность введения обратной связи по производной. При a = 0 эта связь отсутствует.

Рис. 2.24. Схема моделирования скользящего режима в Simulink

На рис. 2.25, а представлены графики переходного процесса для выходной переменной j (t) и переключения реле z (t), из которых видно, что амплитуда и частота автоколебаний совпадает с расчетными. На фазовой плоскости (рис. 2.25, б) фазовые траектории сходятся к замкнутому устойчивому предельному циклу, определяющему параметры автоколебаний.

		y 1
	y (t)

t а)

y б)

Рис. 2.25. Результаты моделирования скользящего режима в НС без обратной связи по производной: а) график переходного процесса; б) фазовая траектория

При введении обратной связи по производной картина изменяется (см. рис. 2.26). Амплитуда колебаний уменьшается и в пределе при t ® ¥ стремится к нулю, а частота колебаний увеличивается.

	y (t)		y 1

t а)

y б)

Рис. 2.26. Результаты моделирования скользящего режима в НС с обратной связью по производной: а) график переходного процесса; б) фазовая траектория