Нелинейное преобразование случайных сигналов

Нелинейный элемент в общем случае искажает входной случайный сигнал. Принцип суперпозиции к нелинейным системам не применим. Поэтому при одновременном действии полезного регулярного сигнала и случайной помехи (рис.4.1) нелинейное преобразование этих сигналов приводит к тому, что помеха в той или иной степени может «засорить» полезный сигнал.

Пусть случайный сигнал на входе системы

, (4.1)

где – среднее значение входа; – центрированная случайная составляющая.

Рис. 4.1. Модель прохождения случайного сигнала через НЭ

Будем считать, что случайный процесс является стационарным и поэтому .

Рассмотрим выходной сигнал НЭ с характеристикой j (x). Пусть, например, это будет нелинейный безынерционный элемент с насыщением (рис. 4.2). При малом уровне помех, когда случайный сигнал x (t) (кривая 1) не выходит за пределы линейного участка с углом наклона a, для выходного сигнала можно записать

, (4.2)

где ; ; .

Рис. 4.2. Прохождение случайного сигнала через НЭ с насыщением

С ростом уровня помех входное воздействие выходит за пределы линейного участка (кривая 2), а среднее значение выхода уменьшается и при очень высоком уровне помех стремиться к нулю.

Таким образом, с увеличением дисперсии входного случайного сигнала, уменьшается полезный сигнал на выходе НЭ. Одновременно выходной сигнал обогащается как высокочастотными, так и низкочастотными гармониками, то есть спектральный состав сигнала на выходе перестает соответствовать спектральному составу сигнала на входе.

Рассмотрим случай прохождения случайного сигнала через НЭ с зоной насыщения, когда tg a = 1 (рис. 4.3).

В пределах линейного участка нелинейный элемент не окажет влияния на форму кривой плотности вероятности

, при .

Уровень выходного сигнала не может превышать уровня насыщения. Поэтому вероятность появления сигнала равна нулю и, следовательно,

, при .

Рис. 4.3. Результат прохождения случайного сигнала

через НЭ с насыщением

Все значения сигнала x > B и x < – B будут преобразовываться в y = B или y = ‑ B, т.е. вероятность появления на выходе сигнала B и – B сильно возрастает и представляет собой d -функции, т.е. импульсы бесконечно большой величины и бесконечно малой ширины, площадь которых равна P ₂ и P ₃.

Можем записать

При этом .

Исследование НС при действии случайных сигналов намного сложнее, чем линейных. Не существует общих точных методов их изучения и поэтому используют приближенные методы.

4.2. Постановка задачи статистической линеаризации

Наибольшее распространение в практике расчета нелинейных систем при случайных воздействиях получил метод статистической линеаризации. Его идея основана на приближенной замене нелинейных преобразований в системе статистически эквивалентными им линейными преобразованиями. При этом нелинейный элемент НЭ заменяется статистически эквивалентным линейным элементом ЭЛЭ. В результате система в целом линеаризуется и для ее исследования можно применять аппарат линейной теории.

Под статистической эквивалентностью следует понимать соответствие эквивалентного элемента одному из двух критериев:

1) равенство математических ожиданий и дисперсий случайных процессов на выходе НЭ и ЭЛЭ (см. рис. 4.4)

M [ у ] = M [ u ], D [ y ] = D [ u ]; (4.3)

2) минимальное значение математического ожидания квадрата разности случайных сигналов на выходе НЭ и ЭЛЭ

(4.4)

Рис. 4.4. К понятию эквивалентного линейного элемента

Как уже говорилось, сигналы на входе и выходе нелинейного элемента представляют собой сумму математического ожидания (отражающего медленно меняющееся регулярное состояние) и центрированной случайной составляющей

В общем случае сигнал на выходе эквивалентного линеаризованного элемента можно представить в виде

, (4.5)

где – математическое ожидание нелинейной функции j(x); – эквивалентный статистический коэффициент усиления по случайной центрированной составляющей.

Таким образом, нелинейный безынерционный элемент заменяют безынерционным элементом нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Модель ЭЛЭ

Если НЭ имеет нечетную характеристику (рис. 4.6, а), функция j ₀ может быть представлена в виде

где k_C₀ – эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по математическому ожиданию (по средней составляющей).

а)

б)

Рис. 4.6. Нечетная (а) и четная (б) характеристики НЭ

Коэффициенты k_C ₀ и k_C ₁ называются коэффициентами статистической линеаризации, соответственно, для математического ожидания и для центрированной случайной составляющей (см. рис. 4.7). Эти коэффициенты однозначно определяются статической характеристикой нелинейного звена и законом распределения входной величины.

Рис. 4.7. К определению погрешности статистической линеаризации

При использовании первого критерия (4.3) для получения ЭЛЭ методом статистической линеаризации делается допущение, что сигнал на входе НЭ имеет нормальное распределение и вид этого распределения не искажается нелинейным элементом. Т. е. действительное распределение выходного сигнала заменяется нормальным с сохранением прежнего среднего значения и прежней дисперсии.

Если уравнение эквивалентного линейного звена определяется, исходя из второго критерия (4.4), то значение k_C ₀ совпадает со значением k_C ₀, полученным по первому критерию, а выражение для k_C ₁ получается более простым. Поэтому для получения ЭЛЭ второй критерий более предпочтителен. Погрешности же в обоих случаях получаются примерно одинаковыми по величине.

Иногда значение коэффициента статистической линеаризации k_C ₁ определяют путем усреднения коэффициентов, полученных по первому k_C ₁^[1] и по второму k_C ₁^[2] критерию.