Пример релейной системы с двухпозиционным реле с опережением

В заключение приведём пример релейной системы с двухпозиционным реле с опережением (с отрицательным гистерезисом) и объектом, имеющим передаточную функцию – два интегратора с запаздыванием. Коэффициент усиления k=1, запаздывание τ=0,05. параметры реле: а=с=1. Начальное значение процесса: х=-2, y=0,14. на рисунке 13а приведен фазовый портрет, на рисунке 13b – график функции времени.

Рис. 13а

Рис. 13b

х₂=y; х₁=х.

§4. Система управления с переменной структурой объектом второго порядка.

Покажем технику применения скользящих режимов на фазовой плоскости на примере системы второго порядка, относящейся к так называемому классу систем с переменной структурой. Этот класс систем был разработан коллективом ученых под руководством С.В.Емельянова в конце 60-х годов.

Предположим, что объект управления имеет передаточную функцию

(1)

Коэффициенты передаточной функции b и с могут изменяться в процессе работы, принимая, в том числе, и отрицательные значения. Известно только, что по модулю они ограничены некоторой величиной d. Рассмотрим способ построения системы стабилизации такого объекта, т.е. задача состоит в том, чтобы при любом начальном положении фазовых координат объекта выход системы возвращался в исходное положение равновесия.

Для решения поставленной задачи используем систему, структурная схема которой приведена на рисунке 1.

Рис. 1

Система работает следующим образом. В зависимости от величины изображающей точки на фазовой плоскости xy (y = x’) блок управления соединяет вход системы (координата u) или с точкой 1 или с точкой 2. В результате система на рисунке 1 преобразуется в одну из линейных систем, показанных на рисунках 2 и 3.

Рис. 2 Рис. 3

Характеристическое уравнение для структуры, изображённой на рисунке 2, имеет вид:

(2)

Величину k выбирают из условия, чтобы она была значительно больше d. Корни характеристического уравнения (2):

p_1,2= (3)

Характеристическое уравнение для структуры, изображённой на рисунке 4, имеет вид:

(4)

Корни характеристического уравнения (4):

p_1,2= (5)

Корни уравнения (3) являются комплексными (устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от знака коэффициента b), а корни уравнения (5) являются действительными и разного знака. Эти утверждения следуют из того, что величина k выбирается значительно больше, чем модуль коэффициентов b и с. Поэтому можно приближённо записать:

(6)

(7)

Таким образом, структура на рисунке 2 имеет особую точку типа «фокус» (устойчивую или неустойчивую, в зависимости от знака коэффициента b). А структура на рисунке 3 имеет особую точку типа «седло». На рисунках 4 и 5 приведены фазовые портреты для неустойчивого фокуса и узла. При этом в случае «узла» обозначена асимптота траектории, соответствующая устойчивому корню узла. К примеру, если характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни –α и +β (α,β>0), то уравнение асимптоты а₁а₂ имеет вид:

y = -αx (8)

Проведем на плоскости линию S₁S₂, имеющую равнение y = λx. Величина λ выбирается таким образом, чтобы при любом допустимом значении α линии а₁а₂ и S₁S₂ располагались, как показано на рисунке 6.

Рис.4	Рис.5
Рис. 6	Рис. 7

Блок управления разбивает фазовую плоскость на области. Первая область - Z₁Z₂, вторая область – Н₁Н₂, как показано на рисунке 7. Если изображающая точка находится в области Z₁Z₂, то включается система, изображенная на рисунке 2, и точка движется по соответствующей ветви гиперболы (седла), как показано на рисунке 9, до попадания на одну из границ области. Если изображающая точка находится в области Н₁Н₂, то включается система, изображенная на рисунке 3., и изображающая точка движется по спирали устойчивого или неустойчивого фокуса пока не выйдет на границу области (рис. 8).

Как видно из рисунка 10, изображающая точка, попав на линию S₁S₂, не может с нее сойти, т.к. все траектории острием упираются в линию S₁S₂.

Изображающая точка движется по этой линии к началу координат в соответствии с дифференциальным уравнением

(9)

Линия S₁S₂ называется линией скольжения, а уравнение (9) – уравнением скольжения.

На рисунке 11 показано разбиение фазовой плоскости, которое использует регулятор при стабилизации объекта.

Рис.8	Рис.9
Рис.10	Рис.11