2015-07-04
466
В некоторых случаях задачи оптимального управления можно решать методами вариационного исчисления.
Рассмотрим задачу
(1)
(2)
(3)
(4)
где 
, управление 
скалярная функция, непрерывная на отрезке 
, 
, где функции 
и 
непрерывны как функции четырех переменных 
и непрерывно дифференцируемы как функции двух фазовых переменных 
, 
дважды непрерывно дифференцируема как функция четырех переменных , 
и 
данные скалярные функции, непрерывные на , конец 
отрезка фиксирован, конец 
не фиксирован: правые концы графиков функций 
и 
скользят по прямым 
и 
.
| Без ограничения (4) на управление  эта задача представляет собой задачу Лагранжа на условный экстремум при уравнениях связи (1). Заметим, что интеграл функционала (3)
|
не зависит от производных искомых функций (задача Лагранжа в форме Понтрягина).
Пусть из системы уравнений Эйлера-Пуассона
(5)
где 
функция Лагранжа, 
множители Лагранжа, с учетом краевых условий (2) найдены одна или несколько экстремалей 
.
Можно доказать, что если экстремум функционала имеется, то он достигается на функции  , где управление  - непрерывная функция, график которой составлен из кусков графиков функций  (или некоторых из них), содержащихся
| 
|
между графиками 
и 
, и кусков графиков функций и - границ множества допустимых значений управлений. В каких точках 
стыкуются куски, можно найти. В этом случае управление является оптимальным, а функция 
дает соответствующую оптимальную траекторию.
В рассмотренной задаче управление было непрерывным. Однако в большинстве задач оптимального управления оно бывает разрывным (кусочно-непрерывным) и потому применение методов вариационного исчисления затруднено.
Возьмем, например, линейную стационарную задачу оптимального быстродействия (п. 2.2):
, 
, 
(6)
(здесь 
). Оказывается, что в классе непрерывных управлений эта задача, вообще говоря, неразрешима.
Действительно, попытаемся ее решить рассмотренным только что способом. Функция Лагранжа имеет вид (здесь 
)
(7)
Если экстремаль 
существует, то она удовлетворяет системе уравнений Эйлера-Пуассона (5), которая в нашем случае имеет вид
где 
.
Продифференцируем по 
второе равенство:
. Исключим 
из равенств 
, умножив первое равенство справа на 
. Получили систему уравнений для 
и 
:
(8)
с матрицей 
. Ее ранг при транспонировании сохраняется. Транспонированная матрица имеет вид
.
Согласно критерию Калмана (теорема 2.2.1), система (6) управляема тогда и только тогда, когда 
. Следовательно, ранг матрицы системы (8) совпадает с числом неизвестных и потому однородная линейная система (8) имеет единственное (тривиальное) решение 
Но тогда функция Лагранжа (7) имеет вид 
, т.е. не учитывает уравнений связи (6). Однако данная задача без самой системы (6) бессодержательна. Можно доказать, что экстремалей не существует.
Если же экстремалей не существует, то оптимальным может быть только управление  , график которого составлен из кусков графиков функций  и  (границ множества допустимых значений управлений). Но остается открытым вопрос, в каких точках
| 
|
происходит переключение управления от значения 
к значению 
и наоборот. Управление может иметь разрывы.
Таким образом, рассмотренная задача неразрешима в классе непрерывных управлений.
В 1956г. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко предложили метод, который обобщил методы классического вариационного исчисления на случай кусочно-непрерывных управлений. В основу этого метода был положен так называемый принцип максимума. В общем случае он сложен. Мы познакомимся с ним в сравнительно простом случае линейной стационарной задачи оптимального быстродействия.
