Быстродействия

Система дифференциальных уравнений называется стационарной (или автономной), если она не содержит явно время :

(1)

(время скрыто в функциях и ). В этом случае скорость в точке не зависит от времени. Поэтому, отправляясь из этой точки в разные моменты времени и , за один и тот же промежуток времени точка опишет одну и ту же траекторию и попадет в одну и ту же точку (так ведут себя, например, частицы жидкости при установившемся течении).

Мы рассматриваем линейную систему (1) (первой степени относительно переменных ):

где известная постоянная - матрица,

известная постоянная - матрица (матрица управления).

Таким образом, мы рассматриваем линейную стационарную задачу без фазового ограничения ()

(2)

где искомая -мерная вектор-функция, непрерывная с кусочно-непрерывной производной, -мерное кусочно-непрерывное управление.

Сформулируем без доказательства критерий управляемости системы (2).

2.2.1. Теорема (критерий Калмана)

Линейная стационарная система (2) управляема (т.е. найдется допустимое управление , переводящее объект (2) из состояния в состояние при любых ) тогда и только тогда, когда

Под матрицей понимается матрица, полученная приписыванием справа к матрице элементов матрицы (с сохранением порядка элементов), затем элементов матрицы и т.д.

Пример. Проверим управляемость системы

Здесь ,

, .

Составим матрицу :

, ,

Система управляема.

Задача оптимального быстродействия состоит в следующем. Пусть в фиксированный начальный момент времени объект находится в состоянии . Надо подобрать допустимое управление , переводящее его в заданное состояние за кратчайшее время: если – конечный (не фиксированный) момент времени, т.е. , то промежуток времени должен быть минимальным. Ясно, что за критерий качества следует взять интегральный критерий