Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения

Составим сопряженную систему

Ее общее решение т.е. , где произвольный постоянный вектор.

Составим функцию Понтрягина:

Пусть фиксировано. Если , то среди всех допустимых значений максимальное значение функции Понтрягина доставляет значение . Если , то функция получает максимальное значение при . Таким образом, при всех (за исключением значения , при котором ) функция управления , доставляющая максимум функции Понтрягина, принимает только два значения и .

Отметим, что условие 2 принципа Понтрягина при таком выборе значений автоматически выполняется:

(за исключением одного значения , при котором ).

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальные траектории можно получить только при значениях .

Пусть . Тогда система (2) имеет вид .

Ее общее решение

(3)

где произвольные постоянные (их обозначили в отличие от постоянных и в решении сопряженной системы. Кроме того, вместо записали , так как тоже произвольная постоянная, как и ). Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая время , получим семейство парабол.

Из уравнения

видно, что с увеличением времени

ордината

точки

на параболе уменьшается. Следовательно, движение фазовой точки вдоль параболы происходит вниз.

Пусть . Тогда система (2) имеет вид . Её общее решение:

(4)

Это – семейство оптимальных фазовых траекторий под управлением . Исключая , получаем семейство парабол.

Из уравнения

видим, что с возрастанием времени

точка

движется вдоль параболы вверх.

Семейства оптимальных траекторий (3) и (4) получены без учета краевых условий. Пока о роли этих семейств можно сказать следующее:

Если точки и лежат на одной из парабол, то именно кусок этой параболы, соединяющий точки и , является оптимальной траекторией (при совпадении направления): объект перейдет из фазового состояния в фазовое состояние за кратчайшее время именно по этой траектории.

Движение фазовой точки

к пункту назначения

происходит по верхней части параболы семейства (3) при

по нижней части параболы семейства (4) при :

Линия , составленная из кусков парабол семейств (3) и (4), входящих в начало координат, называется линией переключения.

2.5.3. Синтез оптимальной траектории. Пусть точка лежит

выше линии переключения. Мы увидим, что оптимальной траекторией окажется траектория, составленная из куска одной из парабол семейств (3) или (4) и куска линии переключения. Двигаясь из точки

по параболе семейства (4) не попадем ни в начало координат, ни на линию переключения.

Поэтому надо начать движение по параболе семейства (3), которая проходит через точку в момент .

В некоторый момент попадем в точку , где эта парабола пересекается с линией переключения. Затем, двигаясь с момента из точки по линии переключения, в момент попадем в точку . Полученная траектория и будет оптимальной. В самом деле, проверим выполнение теоремы 2.4.3. При , т.е. , выбрано управление , а при , т.е. , выбрано управление . Значит, на отрезке при постоянном векторе значения выбраны так, что при каждом фиксированном , кроме ,

1) значение функции Понтрягина

– максимальное среди значений, принимаемых этой функцией при всех .

2) выполняется автоматически, как отмечалось раньше.

Условия теоремы 2.4.3 выполнены. Поэтому, согласно принципу максимума Понтрягина, построенная траектория является оптимальной в смысле быстродействия, а соответствующее управление является оптимальным.